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1999考研数一真题及解析

1999

1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分。把正确答案填写在题中横线上。) (1) lim ? x ?0 (2)

1 ? ? 1 ? ?? 2 x tan x ? ?x

d x sin( x ? t ) 2 dt ? dx ?0 (3) y "? 4 y ? e2 x 的通解为 y ?
(4) 设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的 n 个特征值是 (5) 设两两相互独立的三事件A, B 和C 满足条件:

则 P( A) ?

1 9 ABC ? ? , P ( A) ? P ( B ) ? P (C ) ? , P( A ? B ? C ) ? , 2 16

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分。每小题给出得四个选项中,只有一个是符合 题目要求的,把所选项前的字母填在提后的括号内。) (1)设 f ( x ) 是连续函数, F ( x) 是 f ( x ) 的原函数,则 ( ) (A) 当 f ( x ) 是奇函数时, F ( x) 必是偶函数。 (B) 当 f ( x ) 是偶函数时, F ( x) 必是奇函数。 (C) 当 f ( x ) 是周期函数时, F ( x) 必是周期函数。 (D) 当 f ( x ) 是单调增函数时, F ( x) 必是单调增函数。

?1 ? cos x ,x ?0 ? (2)设 f ( x) ? ? 其中 g ( x) 是有界函数,则 f ( x ) 在 x ? 0 处 ( x ? x 2 g ( x), x ? 0 ?
(A)极限不存在 (C)连续,但不可导 (B)极限存在,但不连续 (D)可导

)

1 ? x , ????????? 0 ? x ? ? ? a ? 2 , S ( x) ? 0 ? ? an cos n? x, ?? ? x ? ? ?, 其中 (3) 设 f ( x) ? ? 2 n ?1 ?2 ? 2 x,?? 1 ? x ? 1 ? ? 2 1 ? 5? ) an ? 2? f ( x) cos n? xdx,(n ? 0,1, 2, ???), 则 S ? ? ? 等于 ( 0 ? 2? 1 1 3 3 (A) (B) ? (C) (D) ? 2 2 4 4
(4)设A 是 m ? n 矩阵, B 是 n ? m 矩阵,则 (A)当 m ? n 时,必有行列式 AB ? 0 (C)当 n ? m 时,必有行列式 AB ? 0 (B)当 m ? n 时,必有行列式 AB ? 0 (D)当 n ? m 时,必有行列式 AB ? 0

(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,1) 和N (1,1) ,则

1

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(A) P ? X ? Y ? 0? ? (C) P ?X-Y ? 0? ?

1 . 2

(B) P ?X+Y ? 1? ?

1 . 2

1 . 2 1 (D) P ?X-Y ? 1? ? . 2

三、(本题满分5分) 设 y ? y ( x) ,z ? z ( x) 是由方程 z ? xf ( x ? y) 和 F ( x, y, z ) =0所确定的函数, 其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求 四、(本题满分5分) 求I ?

dz 。 dx

? ?e
L

x

sin y ? b( x ? y ) ?dx ? ? e x cos y ? ax ? dy, 其中a,b 为正常数, L 为从点A ? 2a,0?

沿曲线 y= 2ax-x 2 到点O (0, 0) 的弧. 五、 (本题满分6分) 设函数 y ? x ?? x ? 0? 二阶可导,且 y? ? x ? ? 0 , y ? 0? ? 1 . 过曲线 y ? y ? x ? 上任意一点

间 ? 0,?x ? 上以 y ? y ? x? 为 曲边的曲边梯形面积 记为 S2 ,并设 2S1 ? S2 恒 为 1 ,求此曲线

P ? x,? y ? 作该曲线的切线及 x 轴的垂线,上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1 ,区

y ? y ? x? 的方程.
六、(本题满分6分) 试证:当 x ? 0 时, x ? 1 ln x ? ? x ? 1? .
2 2

?

?

七、(本题满分6分) 为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口 见图,已知井深 30m 30m,抓斗自重 400 N , 缆绳每米重 50 N ,抓斗抓 起的污泥重 2000 N ,提升速度为 3m / s ,在提升过程中,污泥以 20 N / s 的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重 力需作多少焦耳的功?(说明:① 1N ?1m ? 1J ; 其中 m, N , s, J 分别表示 米,牛顿,秒,焦耳;②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不 计.) 八、(本题满分7分)

x2 y 2 ? ? z 2 ? 1 的上半部分,点P ( x, y, z ) ∈S,π为S 在点P 处的切平面, 2 2 z ? ( x, y, z) 为点O (0,0,0) 到平面π的距离,求 ?? dS . ? ( x, y, z ) S
设S 为椭球面 九、(本题满分7分) 设 an ?
?

?

4 0

tan n xdx,

2

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(1) 求

? n ?a
n ?1

?

1

n

? an ? 2 ? 的值;

(2) 试证:对任意的常数λ>0, 级数 十、(本题满分8分)

? n? 收敛
n ?1

?

an

?1 c ? ? a ? * b 3? 设矩阵 A ? 5 ? ? , 其行列式 A ? ?1, 又A 的伴随矩阵 A 有一个特征值 ?0 ,属 ? ?1 ? c 0 ?a ? ? 于 ?0 的一个特征向量为 ? ? (?1, ?1,1)T , 求 a, b, c 和 ?0 的值.
十一、(本题满分6分) 定矩阵的充分必要条件是B的秩 r ? B ? ? n . 十二、(本题满分8分) 设A 为m 阶实对称矩阵且正定,B为m× n实矩阵, B 为B的转置矩阵,试证: B AB 为正
T T

设随机变量X 与Y 相互独立, 下表列出了二维随机变量 ? X,Y ? 联合分布律及关于X 和关于

Y 的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处. Y X

y1

y2
1 8

y3

P? X ? xi ? ? pi

x1 x2
P ?Y ? y j ? ? p j
十三、(本题满分6分) 设总体X 的概率密度为

1 8 1 6

1

? 6x ? (? ? x), 0 ? x ? ? f ( x) ? ? ? 3 ? 其他 ?0,

X1 , X 2 , ???, X n 是取自总体X 的简单随机样本. ? (1) 求θ的矩估计量 ?
? . ? 的方差 D ? (2) 求 ?

??

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一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.把正确答案填写在题中横线上.) (1)【答案】 . 【分析】利用 x ? 0 的等价变换和洛必达法则求函数极限. 【详解】 方法1: lim ?
x ?0

1 3

1 ? tan x ? x tan x ? x ? 1 ? tan x ? x lim ? ? lim 2 2 x ? 0 x ? 0 x tan x ? x tan x x3 ?x
洛 lim sec 2 x ? 1 tan 2 x x2 1 tan x ? x lim ? ? lim x ?0 x ?0 3 x 2 x ?0 3 x 2 3x 2 3

方法2: lim ?

1 ? sin x ? x cos x ? 1 ? 1 cos x ? ? ? lim ? 2 ? ? lim ? ? 2 x ?0 x x tan x ? x?0 ? x x sin x ? x?0 x 2 sin x ?
x ?0

sin x ? x lim

sin x ? x cos x cos x ? cos x ? x sin x sin x 1 洛 lim ? lim ? 3 2 x ? 0 x ? 0 x 3x 3x 3

(2)【答案】 sin x 【分析】欲求

2

d b ? ( x, t )dt ,唯一的办法是作变换,使含有 ? ( x, t ) 中的 x “转移”到 ? 之外 dx ?a 【详解】令 u ? x ? t ,则 dt ? ? du ,所以有 d x d 0 d x 2 2 sin( x ? t ) dt ? ? sin u du ? sin u 2 du ? sin x 2 ? ? ? ? ? 0 x 0 dx dx dx
(3)【答案】 y ? C1e
?2 x

1 ? ? ? ? C2 ? x ? e2 x , 其中 C1 , C2 为任意常数. 4 ? ?

【分析】先求出对应齐次方程的通解,再求出原方程的一个特解. 【详解】原方程对应齐次方程 y "? 4 y ? 0 的特征方程为: ? 2 ? 4 ? 0, 解得 ?1 ? 2, ?2 ? ?2 ,故

y "? 4 y ? 0 的通解为 y1 ? C1e?2 x ? C2e2 x ,
由于非齐次项为 f ( x) ? e2 x , 因此原方程的特解可设为 y* ? Axe2 x , 代入原方程可求得

A?

1 1 ? 2x ? * ?2 x ,故所求通解为 y ? y1 ? y ? C1e ? ? C2 ? x ? e 4 4 ? ?

(4)【详解】因为

4

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? ? ? 1 ?1 ? ?1 ? ? 1 ?E ? A ? ? ? ... ... ? ?1 ? ?1
两边取行列式,

... ?1 ? ? ... ?1 ? (对应元素相减) ... ... ? ? ... ? ? 1? ... ?1 ? ? n ?1 ... ?1 把第2, ?,n列 ? ? n ? ? 1 ... ... 加到第1列 ... ... ... ? ? 1 ? ? n ?1 ... ?1 ... ?1 ... ... ... ? ? 1
2行 ? 1行 3行 ? 1行 ???? n行 ? 1行 (? ? n) 1 0 0

? ?1 ?E ? A ?
?1 ... ?1

?1 ? ?1 ... ?1

... ?1 ... ?1 ... ... ... ? ? 1
?1 ... ?1

1 ?1 提取第1列 1 ? ?1 (? ? n ) ... ... 的公因子 1 ?1
? ? n-1 (? ? n)


?
0

... ...

0

... ... ... ...

?

? E ? A ? ? n-1 (? ? n) ? 0 ,得 ?1 ? n(1重),?2 ? 0((n ?1)重),故矩阵A的n个特征值

是n和0( ( n -1) 重) (5)【答案】 1 4 【详解】根据加法公式有

P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( AC ) ? P( AB) ? P( BC ) ? P( ABC )
因为 P( A) ? P( B) ? P(C ) ,设 P( A) ? P( B) ? P(C ) ? p 由于 A, B, C 两两相互独立,所以有

P( AB) ? P( A)P(B) ? p ? p ? p2 , P( AC) ? P( A) P(C) ? p ? p ? p2 , P( BC) ? P( B) P(C) ? p ? p ? p2 ,
又由于 ABC ? ? ,因此有 P( ABC ) ? P(?) ? 0, 所以

P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( AC ) ? P( AB) ? P( BC ) ? P( ABC )

? p ? p ? p ? p2 ? p2 ? p2 ? 0 ? 3 p ? 3 p 2
又 P( A ? B ? C ) ?

9 9 9 2 2 ?0 ,从而 P ( A ? B ? C ) ? 3 p ? 3 p ? ,则有 3 p ? 3 p ? 16 16 16

? p2 ? p ?

3 3 1 ? 0 ,解得 p ? 或p ? 16 4 4

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因 P( A) ? P( B) ? P(C ) ? p ?

1 1 1 ,故 p ? ,即 P( A) ? 2 4 4

二、选择题 (1)【答案】( A ) 【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.

f ( x) 的原函数 F ( x) 可以表示为 F ( x) ? ? f (t )dt ? C, 于是
0

x

F ( ? x) ? ?

?x

0

f (t )dt ? C ?

u ??t

?
x 0

x

0

f (?u)d ? ?u ? ? C.

当 f ( x ) 为奇函数时, f (?u) ? ? f (u) ,从而有

F (? x) ? ? f (u)du ? C ? ? f (t )dt ? C ? F ( x)
0

x

即 F(x)为偶函数. 故(A)为正确选项. (B)、(C)、(D)可分别举反例如下:

1 f ( x) ? x2 是偶函数,但其原函数 F ( x) ? x3 ? 1 不是奇函数,可排除(B); 3

f ( x) ? cos2 x 是周期函数,但其原函数 F ( x) ?

1 1 x ? sin 2 x 不是周期函数,可排除(C); 2 4
1 2 x 在区间 (??, ??) 内 2

f ( x) ? x 在区间 (??, ??) 内是单调增函数,但其原函数 F ( x) ?
非单调增函数,可排除(D). (2)【答案】( D )

【详解】由于可导必连续,连续则极限必存在,可以从函数可导性入手.

因为

1 2 x f ( x) ? f (0) 1 ? cos x f ??(0) ? lim? ? lim? ? lim? 2 ? 0, x ?0 x ?0 x ?0 x x x?0 x x

f ( x) ? f (0) x 2 g ( x) ? lim ? lim xg ( x) ? 0, x ?0 x ? 0? x ? 0? x?0 x 从而, f ?(0) 存在,且 f ?(0) ? 0 ,故正确选项为(D). f ??(0) ? lim ?
(3)【答案】( C ) 【详解】由题设知,应先将 f ( x ) 从[0,1)作偶延拓,使之成为区间[?1,1]上的偶函数,然后再作 周期(周期2)延拓,进一步展开为傅里叶级数,

5 1 1 1 S (? ) ? S (?2 ? ) ? S (? ) ? S ( ) 2 2 2 2

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而x?

1 是 f ( x ) 的间断点,按狄利克雷定理有, 2

1 1 1 f ( ? 0) ? f ( ? 0) ?1 1 3 2 2 2 S( ) ? ? ? . 2 2 2 4
(4)【答案】B 【详解】 方法1: A 是 m ? n 矩阵, B 是 n ? m 矩阵,则 AB 是 m 阶方阵,因

r( AB) ? min ?r( A), r(B)? ? min ? m, n? .
当 m ? n 时,有 r ( AB) ? min[r ( A), r ( B)] ? n ? m . ( ( AB) x ? 0 的系数矩阵的秩小于未知 数的个数),故有行列式 AB ? 0 ,故应选(B). 方法 2: B 是 n ? m 矩阵, 当 m ? n 时, 则 r ( B) ? n (系数矩阵的秩小于未知数的个数) ,方程 组 Bx ? 0 必有非零解,即存在 x0 ? 0 ,使得 Bx0 ? 0 ,两边左乘 A ,得 ABx0 ? 0 ,即

ABx ? 0 有非零解,从而 AB ? 0 ,故选(B).
方法 3:用排除法 (A) m ? n ,取 Am?n ? ? ? , Bn?m ? ? 0

?1? ?0?

?0 0? 0 ? , AB ? ? ? , AB ? 0 ,(A)不成立 ?0 0? ? 0? ?1?

(C) n ? m ,取 Am?n ? ?1 0 ? , Bn?m ? ? ? , AB ? 0 , AB ? 0 ,(C)不成立 (D) n ? m ,取 Am?n ? ?1 0 ? , Bn?m ? ? ? , AB ? 1 , AB ? 1 ,(D)不成立,故选(B).

?1? ? 0?

(5)【答案】B 【详解】 根据正态分布的性质:服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布. 因 X 和Y 相互独立,且 X ~ N (0,1) , Y ~ N (1,1) ,所以

T1 ? X ? Y ~ N (u1, ?12 ) , T2 ? X ? Y ~ N (u2 ,? 22 )
2 其中 u1 ? E ( X ? Y ) , ?12 ? D( X ? Y ) , u2 ? E( X ? Y ) , ? 2 ? D( X ? Y )

由期望的性质: E(T1 ) ? E( X ? Y ) ? EX ? EY ? 0 ? 1 ? 1,

E(T2 ) ? E( X ? Y ) ? EX ? EY ? 0 ?1 ? ?1
由独立随机变量方差的性质: D(T1 ) ? D( X ? Y ) ? DX ? DY ? 1 ? 1 ? 2

D(T2 ) ? D( X ? Y ) ? DX ? DY ? 1 ? 1 ? 2

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所以

T1 ? X ? Y ~ N (1, 2) , T2 ? X ? Y ~ N (?1, 2)

(一般来说遇到正态分布的小题,主要就考两点,标准化和对称性,考虑问题也是从这两点 出发) A选项: P ? X ? Y ? 0? ?

1 . 因 T1 ? X ? Y ~ N (1, 2) 2

由标准化的定义:若 X ~ N (u, ? 2 ) ,则 所以,

X ?u

?

~ N (0,1)

X ? Y ?1 ? N (0,1) ,将其标准化有 2

1 ? ? X ? Y ? 1 0 ? 1? ? X ? Y ?1 P ? X ? Y ? 0? ? P ? ? ?? ? ? P? ? 2 2? 2 2? ? ?
(保证变换过程中概率不变,所以不等号的左边怎么变,右边也同样的变化) 又因为标准正态分布图像是关于 y 轴对称,所以

1 ? 1 ? X ? Y ?1 ? 1 ? X ? Y ?1 P? ? 0? ? ,而 P ? ?? ? ? ,所以A错. 2 2 2? 2 ? ? 2 ?
B选项: P ? X ? Y ? 1? ? 将其标准化有: P ? 故B正确. C选项: P ? X ? Y ? 0? ? 将其标准化有: P ?

1 . 2

? X ? Y ? 1 1 ? 1? ? X ? Y ?1 ? 1 ? ? 0? ? (根据标准正态分布的对称性) ? ? P? 2 2? 2 ? ? ? 2
1 . 2

? X ? Y ? (?1) 0 ? (?1) ? ? X ? Y ?1 1 ? 1 ? ? ? ? P? ? ? ,故C错. 2 2 ? 2 2? 2 ? ?
1 . 2

D选项: P ? X ? Y ? 1? ? 将其标准化有: P ?

? X ? Y ? (?1) 1 ? (?1) ? ? X ? Y ?1 2 ? 1 ? ? ? ? P? ? ? ,故D错. 2 2 ? 2 2? 2 ? ?

三【详解】分别在 z ? xf ( x ? y) 和 F ( x, y, z ) ? 0 的两端对 x 求导数,得

? dz ? dy ? ? f ( x, y ) ? x ?1 ? ? f ?( x, y ) ? ? dx ? dx ? ? ? F ? ? F ? dy ? F ? dz ? 0 x y z ? dx dx ?

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整理后得

dy dz ? ? xf ?( x, y ) ? ? f ( x, y ) ? xf ?( x, y ) ? ? dx dx ? ? F ? dy ? F ? dz ? ? F ? y z x ? dx ? dx

解此方程组,得

dz ? dx

? xf ? Fy?

f ? xf ? ? Fx?

? xf ? 1 Fy? Fz?

?

? z? ( f ? xf ?) Fy? ? xf F ? z? ? 0) , ( Fy? ? xf F ? z? Fy? ? xf F

四【详解】 方法1:凑成闭合曲线,应用格林公式. 添加从点 O (0, 0) 沿 y ? 0 到点 A ? 2a,0? 的有向直 线段 L1 , 如图,则

I ??

L ? L1

?e

x

sin y ? b( x ? y) ?dx ? ? e x cos y ? ax ? dy

?? ? e x sin y ? b( x ? y) ?dx ? ? e x cos y ? ax ? dy
L1

利用格林公式,前一积分

? ?Q ?P ? ? I1 ? ?? ? ? ?dxdy ? ?? (b ? a)dxdy ? a 2 (b ? a) ?x ?y ? 2 D ? D
其中D为 L1 +L所围成的半圆域,后一积分选择 x 为参数,得 L1 :

?x ? x , ? 0 ? x ? 2a ? , ? ?y ? 0
可直接积分

I 2 ? ? ( ?b x ) dx ? ? 2 2 a,故 b
0

2a

? ?? ? I ? I1 ? I 2 ? ? ? 2 ? a 2b ? a 3 . 2 ?2 ?

方法2: 将曲线积分分成两部分, 其中一部分与路径无关, 余下的积分利用曲线的参数方程计算.

I ? ? ? e x sin y ? b( x ? y ) ?dx ? ? e x cos y ? ax ? dy
L

? ? e x sin ydx ? e x cos ydy ? ? b( x ? y )dx ? axdy
L L

前一积分与路径无关,所以

?

L

e x sin ydx ? e x cos ydy ? e x sin y

(0,0) (2 a ,0)

?0

对后一积分,取 L 的参数方程

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? x ? a ? a cos t ?dx ? ?a sin tdt ,则 ? , t 从 0 到 ? ,得 ? ? y ? a sin t ? dy ? a cos tdt

? b( x ? y)dx ? axdy
L

? ? (?a 2b sin t ? a 2b sin t cos t ? a 2b sin 2 t ? a3 cos t ? a3 cos2 t )dt
0

?

1 1 ? ?2a 2b ? ? a 2b ? ? a 3 2 2
从而

1 1 ? ?? ? I ? 0 ? (?2a 2b ? ? a 2b ? ? a3 ) ? ? ? 2 ? a 2b ? a 3 2 2 2 ?2 ?

五【详解】如图,曲线 y ? y ( x) 上点 P( x, y) 处的切线方程为 Y ? y( x) ? y?( x)( X ? x) 所以切线与 x 轴的交点为 ? x ?

?

? 由于 y '( x) ? 0, y(0) ? 1, 因此 y ( x) ? 0 ( x ? 0)

y ? ,0 ? y' ?

于是

S1 ?

? 1 y ? y2 y x ??x ? ? ? . 2 y ' ? 2y ' ?
x

又 S2 ?

?

0

y(t )dt ,
x y2 2 ? ? y(t )dt ? 1, 两边对 x 求导并化简得 yy " ? ? y '? 2y ' 0

根据题设 2S1 ? S2 ? 1, 即 2?

这是可降阶得二阶常微分方程,令 p ? y?, 则 y?? ? 则上述方程可化为 yp 从而有

dp dp dy dp ? ? ?p , dx dy dx dy

dy dp dp dy ? C1 y, ? p 2 , 分离变量得 ? ,解得 p ? C1 y, 即 dx p y dy

y ? C1ex ? C2 ,根据
x

y( 0 ) ? 1 y,

'( ?0 )可得 1 ,C1 ? 1, C2 ? 0,

故所求曲线得方程为 y ? e

六【详解】构造函数,利用函数的单调性, 证法1:令 又
2 f ( x )? ? x ?1 ? l nx??

x?? 1 易知 . f (1) ? 0
2

1 f ?( x)? 2 x l n? x ? x ?2 x

?, f ? (1)

0

f ??( x) ? 2 ln x ? 1 ?

1 , f ??(1) ? 2 ? 0 x2

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f ???( x) ?

2( x 2 ? 1) x3

可见,当 0 ? x ? 1 时, ?

? f ???( x) ? 0 ? f ???( x) ? 0 ;当 1 ? x ? ?? 时, ? ? f ??( x) ? ? f ??( x) ?

因此, f ??(1) ? 2 为 f ??( x) 的最小值,即当 0 ? x ? ?? 时, f ??( x) ? f ??(1) ? 2 ? 0 ,所 以 f ?( x ) 为单调增函数. 又因为 f ?(1) ? 0 ,所以有

0 ? x ? 1 时 f ?( x) ? 0 ; 1 ? x ? ?? 时 f ?( x) ? 0 ,
所以利用函数单调性可知, ( 为 f ( x ) 的最小值,即 f ( x) ? f (1) ? 0 f 1 ) 所以有 x ? 0 时, x ? 1 ln x ? ? x ? 1? .
2 2

?

?

证法2:先对要证的不等式作适当变形,当 x ? 1 时,原不等式显然成立; 当 0 ? x ? 1 时,原不等式等价于 ln x ?

x ?1 ; x ?1 x ?1 ; x ?1

当 1 ? x ? ?? 时,原不等式等价于 ln x ? 令

f ( x) ? ln x ?

x ?1 x ?1



1 2 x2 ? 1 f ?( x) ? ? ? ? 0 ? x ? 0? x ? x ? 1?2 x ? x ? 1?2
x ?1 x ?1 ; 当 1 ? x ? ?? 时, f ( x) ? 0, 即 ln x ? ; x ?1 x ?1
2

又因为 f (1) ? 0, 利用函数单调性可知 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0, 即 ln x ?

综上所述,当 x ? 0 时, x ? 1 ln x ? ? x ? 1? .
2

?

?

七【详解】建立坐标轴如图所示, 解法1:将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功 W ? W1 ? W2 ? W3 ,其中 W1 是克服抓斗自重所作 的功; W2 是克服缆绳重力作的功; W3 为提出污泥所作的功. 由题意知

W1 ? 400N ? 30m ? 12000J .
将抓斗由 x 处提升到 x ? dx 处,克服缆绳重力所作的功为

dW2 = 缆绳每米重×缆绳长×提升高度
? 50(30 ? x)dx,
从而

W2 ? ? 50(30 ? x)dx ? 22500 J .
0

30

在时间间隔 [t , t ? dt ] 内提升污泥需做功为

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dW3 ? (原始污泥重 ? 漏掉污泥重) ? 提升高度(3dt )
? (2000 ? 20t )3dt
将污泥从井底提升至井口共需时间 所以
10

30m ? 10 s, 3m / s

W3 ? ? 3(2000 ? 20t )dt ? 57000 J .
0

因此,共需做功

W ? W1 ? W2 ? W3 ? ( 12000 ? 22500 ? 57000) J ? 91500J
解法2:将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功记为 W ,当抓斗运动到 x 处时,作用力 f ( x ) 包括 抓斗的自重 400 N , 缆绳的重力 50(30 ? x) N , 污泥的重力 (2000 ? 即 于是

x ? 20) N , 3

f ( x) ? 400 ? 50(30 ? x) ? 2000 ?

20 170 x ? 3900 ? x, 3 3
30 0

30 ? 170 ? 85 W ? ? ? 3900 ? x ? dx ? 3900 x ? x 2 0 3 ? 3 ?

? 117000 ? 24500 ? 91500 J

八【分析】先写出切平面方程,然后求 ? ( x, y, z ) ,最后将曲面积分化成二重积分. 【详解】点 P( x, y, z ) ? S , S 在点 P 处的法向量为 n ? ? x, y, 2 z? ,设 ( X , Y , Z ) 为 ? 上任意一 点,则 ? 的方程为

?

x( X ? x) ? y(Y ? y) ? 2 z (Z ? z ) ? 0 ,化简得
由点到平面的公式, O(0,0,0) 到 ? 的距离

x y X ? Y ? zZ ? 1 2 2

? ( x, y , z ) ?

Ax ? By ? Cz

x y 1 ? x? y? z?z 2 2 2 ? ? x y 2 2 ? ?? ? ? z2 ? 4 4 x y A2 ? B 2 ? C 2 ? ( )2 ? ( )2 ? z 2 ? 2 2

从而

z x2 y 2 dS ? ?? z ? ? z 2 dS ?? ? ( x, y , z ) 4 4 S S

2 2 用投影法计算此第一类曲面积分, 将 S 投影到 xOy 平面, 其投影域为 D ? ( x, y ) | x ? y ? 2

?

?

由曲面方程知 z ? 1 ? ?

? x2 y 2 ? ? ? , ( x, y ) ? D, 于是 2 ? ? 2

?z ? ?x

?z ?y ? , ? x 2 y 2 ? ?y ? x2 y 2 ? 2 1? ? ? ? 2 1? ? ? ? ? 2 2 ? ? 2 2 ? ,
12

?x

1999

因此

? ?z ? ? ?z ? dS ? 1 ? ? ? ? ? ? d? ? ? ?x ? ? ?y ?

2

2

4 ? x2 ? y 2 ? x2 y 2 ? 2 1? ? ? ? ? 2 2 ?

d?

故有

z x2 y 2 dS ? z ? ? z 2 dS ?? ?? ? ( x, y , z ) 4 4 S S

?

2 3? 1 1 2? 2 2 . 4 ? x ? y d ? 极坐标 d ? (4 ? r 2 )rdr ? ? ? ?? ? ? 0 0 2 4D 4

九【详解】(1) 因为

1 1 ? 1 ? n 2 4 4 a ? a ? tan x (1 ? tan x ) dx ? tan n x sec2 xdx ? n n?2 ? ?0 ? 0 n n n
tan x ?t 1 1 1 ? 1 ? ? 4 tan n xd tan x ? ? t n dt ? 0 0 n n n(n ? 1)

又由部分和数列

Sn ? ?
有 因此
n ??

n n 1 1 1 1 1 a ? a ? ? ( ? ) ? 1? , ? i i ?2 ? ? ? i ?1 n ?1 i ?1 i i ?1 i (i ? 1) i ?1 i

n

lim S n ? 1,

? n ?a
n ?1

?

1

n

? an? 2 ? ? 1.

(2) 先估计 an 的值,因为

an ? ? 4 tan n xdx ,令 t ? tan x ,则 dt ? sec2 xdx ,即 dx ?
0

?

dt 1? t2

所以 所以

an ? ?

1 tn 1 ? ? t n dt ? , 2 0 1? t 0 n ?1 1

an 1 1 ? ? ? ? ?1 , ? n n (n ? 1) n

由于 ? ? 1 ? 0 ,所以

? n?
n ?1
*

?

1
?1

收敛,从而

? n? 也收敛.
n ?1

?

an

十【详解】根据题设, A 有一个特征值 ?0 ,属于 ?0 的一个特征向量为 ? ? (?1, ?1,1) , 根据
T

特征值和特征向量的概念,有 A*? ? ?0? ,
* * * 把 A ? ?1 代入 AA ? A E 中, 得 AA ? A E ? ?E, 则 AA ? ? ? E? ? ?? . 把 A ? ? ?0?
*

代入,于是 AA ? ? A?0? ? ?0 A? , 即 ?? ? ?0 A?
*

13

1999

?1 c ? ? ?1? ? a ? ?1? ? ?a ? 1 ? c ? ? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b 3 ? ? ?1? ? ? ? ?1? , ? ?0 ? ?5 ? b ? 3 ? ? ? ? 也即 ?0 5 ? ? ?1? ?1 ? c 0 ? a ? ?? ?1? ? ?1? ? ? ?(1 ? c) ? a ? ? ?1? ? ? ? ? ?

? ?a ? 1 ? c ? ? ? 常数 ?0 乘以矩阵 ?5 ? b ? 3 ,需用 ?0 乘以矩阵的每一个元素 ? ? ? ?(1 ? c) ? a ? ? ? ? ? a ? 1 ? c ? ? ?0 (? a ? 1 ? c) ? ? ?1? ? ? ? ? ? ?0 ? ?5 ? b ? 3 ? ? ? ?0 (?5 ? b ? 3) ? ? ? ? ? ?1? ? ?(1 ? c) ? a ? ? ? ??0 [?(1 ? c) ? a ]? ? ?1? ? ? ?
矩阵相等,则矩阵的对应元素都相同,可得

??0 ( ? a ? 1 ? c) ? 1????????????(1) ? ??0 ( ?5 ? b ? 3) ? 1????????????(2) ?? ( ?1 ? c ? a ) ? ?1???????????? ? 0
* * 因 A ? ?1 ? 0 , A 的特征值 ? ? 0 , A 的特征值 ? ?

A

?

? 0 ,故 ?0 ? 0

由(1),(3)两式得

?0 (?a ? 1 ? c) ? ??0 (?1 ? c ? a) ,
两边同除 ?0 ,得

?a ?1 ?c ? ( ? 1 ? c ? a ?)

整理得 a ? c ,代入(1)中,得 ?0 ? 1 . 再把 ?0 ? 1 代入(2)中得 b ? ?3 又由 A ? ?1 , b ? ?3 以及 a ? c ,有

a A? 5 1? a

?1 ?3 0

a

a ?1 a

a a ?1 a 2 0 3 0

3 3行 ? 1行 5 ?3 3 2列 ? 1列 5 1 ?a 1 ?1 0

按第3行展开(?1)3?1

a ?1 a 3?1 (其中 (?1) 的指数3,1分别是1的行数和列数) 2 3

? 3(a ? 1) ? 2a ? a ? 3 ? ?1
故 a ? c ? 2, 因此 a ? 2, b ? ?3, c ? 2, ?0 ? 1. 十一【详解】 “必要性”. 设 B AB 为正定矩阵,则由定义知,对任意的实 n 维列向量 x ? 0 ,有
T

xT ? BT AB ? x ? 0, 即 ? Bx ? A ? Bx ? ? 0, 于是, Bx ? 0 ,即对任意的实 n 维列向量 x ? 0 ,都有
T

Bx ? 0 . (若 Bx ? 0 , (x ) A ?0 0 ? 矛盾). 因此,Bx ? 0 只有零解, 则 AB 故有 r ? B ? ? n ( Bx ? 0

14

1999

有唯一零解的充要条件是 r ? B ? ? n ).
T “充分性”. 因 A 为 m 阶实对称矩阵,则 A ? A ,故 B AB
T T

?

?

T

? BT AT B ? BT AB, 根据

实对称矩阵的定义知 B AB 也为实对称矩阵. 若 r ? B ? ? n ,则线性方程组 Bx ? 0 只有零解, 从而对任意的实 n 维列向量 x ? 0 ,有 Bx ? 0 . 又 A 为正定矩阵,所以对于 Bx ? 0 有

? Bx ?

T

A ? Bx ? ? xT ? BT AB ? x ? 0, 故 BT AB 为正定矩阵(对任意的实 n 维列向量 x ? 0 ,有

xT ? BT AB ? x ? 0 ).
十二【详解】离散型随机变量边缘分布律的定义:

pi? ? P ? X ? xi ? ? ? P ? X ? xi , Y ? y j ? ? ? pij , i ? 1, 2,?
j j

p j ? P ?Y ? y j ? ? ? P ? X ? xi , Y ? y j ? ? ? pij , j ? 1, 2,?
i i

(通俗点说就是在求关于 X 的边缘分布时,就把对应 x 的所有 y 都加起来,同理求关于 Y 的边 缘分布时,就把对应 y 的所有 x 都加起来) 故

P ?Y ? y1? ? p? 1 ? ? P ? X ? xi , Y ? y ? 1 ? ? pi
i i

1



P?Y ? y1? ? P? X ? x1, Y ? y1? ? P?X ? x2 ,Y ? y1?
而由表知 P ?Y ? y1? ?

1 1 , P ? X ? x2 , Y ? y1? ? ,所以 6 8
1 1 1 ? ? 6 8 24

P ? X ? x1 , Y ? y1? ? P ?Y ? y1? ? P ? X ? x2 , Y ? y1? ?
又根据 X 和Y 相互独立,则有:

P ? X ? xi , Y ? y j ? ? P ? X ? xi ? P ?Y ? y j ?
因 P ? X ? x1 , Y ? y1? ?

即 pij ? pi? p? j

1 1 , P ?Y ? y1? ? ,而 P? X ? x1, Y ? y1? ? P? X ? x1? P ?Y ? y1? 24 6

1 P ? X ? x1 , Y ? y1? 24 1 所以 P ? X ? x1? ? ? ? 1 4 P ?Y ? y1? 6
再由边缘分布的定义有

P? X ? x1? ? P? X ? x1, Y ? y1? ? P?X ? x1,Y ? y2? ? P?X ? x1,Y ? y3?
所以

P? X ? x1, Y ? y3? ? P?X ? x1? ? P?X ? x1,Y ? y1? ? P ?X ? x1,Y ? y2?

15

1999

?

1 1 1 1 ? ? ? 4 24 8 12

又由独立性知 P? X ? x1, Y ? y3? ? P? X ? x1? P?Y ? y3?

所以

1 P ? X ? x1 , Y ? y3 ? 12 1 P ?Y ? y3 ? ? ? ? 1 3 P ? X ? x1? 4
1 1 1 P ? X ? x2 , Y ? y3 ? ? P ?Y ? y3 ? ? P ? X ? x1 , Y ? y3 ? ? ? ? 3 12 4

由边缘分布定义有 P?Y ? y3? ? P? X ? x1, Y ? y3? ? P ?X ? x2 ,Y ? y3? 所以 再由 而 故

?p
i

i?

? 1,所以 P ? X ? x2 ? ? 1 ? P ? X ? x1? ? 1 ?

1 3 ? 4 4

P? X ? x2? ? P? X ? x2 , Y ? y1? ? P?X ? x2 ,Y ? y2? ? P ?X ? x2 ,Y ? y3?

P? X ? x2 , Y ? y2? ? P? X ? x2? ? P?X ? x2 ,Y ? y1? ? P ?X ? x2 ,Y ? y3?
? 3 1 1 3 ? ? ? 4 8 4 8



?p
j

j

1 1 1 ? 1,所以 P ?Y ? y2 ? ? 1 ? P ?Y ? y1? ? P ?Y ? y3 ? ? 1 ? ? ? 6 3 2

所以有: Y X

y1
1 24
1 8

y2
1 8

y3
1 12 1 4

P? X ? xi ? ? pi
1 4 3 4

x1 x2
P ?Y ? y j ? ? p j

3 8

1 6

1 2

1 3

1

十三【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩,此题中被估参数只有一个,故 只需要用样本矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望) (1) 矩估计:由期望的定义:

E( X ) ? ?
?

??

??

xf ( x)dx ? ? x
0

?

6x

?3

(? ? x)dx ? ? (
0

?

6 x2

?2

?

6 x3

?3

)dx

6

?2

?

?

0

x 2 dx ?

6

?3

?

?

0

x 3 dx ?

6 ?3 6 ?4 3? ? ? 3 ? 2? ? ? 2 ? 3 ? 4 2 2

16

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样本均值 X ? 即

1 n ? X i ,用样本均值估计期望有 EX ? X , n i ?1

? ? X , 解得θ的矩估计量 2

? ? 2X ?

?) ? D(2 X ) ? 4D( X ) (2) 由随机变量方差的性质: D(cX ) ? c2 D( X ) ,所以 D(?
又由独立随机变量方差的性质:若 X 和Y 独立,则 D( X ? Y ) ? DX ? DY 因 X1 , X 2 , ???, X n 是取自总体 X 的简单随机样本, 所以 X1 , X 2 , ???, X n 独立且 X1 , X 2 , ???, X n 与 X 服从同一分布,即 DX i ? DX 而

i ? 1, 2,?n

D( X ) ? D(

n 1 n 1 1 n 1 n X ) ? D ( X ) ? D ( X ) ? D( X ) ? i n2 ? ? i n2 ? i n i ?1 n2 i ?1 i ?1 i ?1

?

n 1 n 1 D ( X ) 1 ? 2 D( X ) ? D( X ) ? 2 n n n i ?1
2

2 方差的定义: D( X ) ? E ( X ) ? ? E ( X ) ? ,所以求方差只需要求出 E ( X 2 ) 和 E ( X )

根据二阶原点矩的定义: E ( X ) ?
2

?

??

??

x 2 f ( x)dx
?



E( X 2 ) ? ?

??

??

x 2 f ( x)dx ? ?

?

6 x3

0

?3

(? ? x)dx ? ? (
0

6 x3

?2

?

6x4

?3

)dx ?

6? 2 20

而 E( X ) ?

?
2

,所以
2 2

6? 2 ? ? ? ? 2 D( X ) ? E( X ) ? ? E( X )? ? ?? ? ? 20 ? 2 ? 20
2

? ? 2 X 的方差为 D(? ?) ? D(2 X ) ? 4D( X ) ? 因此 ?

4 ?2 D( X ) ? . n 5n

17




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