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黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学2018-2019学年高一下学期第一次月考数学试题(附参考答案)

高一学年 4 月份月考题

一、选择题:(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.数列

的一个通项公式是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】

可通过 取值依次验证通项公式,排除法得到结果.

【详解】 选项:当 时, ,不合题意, 错误;

选项:当 时,

,不合题意, 错误;

选项:当 时,

,不合题意, 错误;

选项:

,可知符合数列通项形式, 正确.

本题正确选项:

【点睛】本题考查数列的通项公式,属于基础题.

2.已知向量





,且

,则实数 (  )

A.

B. 0

C. 3

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据

得到:

,利用坐标运算求解出结果.

【详解】由题意可知:



,即

可得:

本题正确选项:

【点睛】本题考查向量垂直的性质、向量的坐标运算,属于基础题.

3.在 中,



,则 外接圆的面积是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】

分析:利用正弦定理

来求外接圆的半径,从而得到外接圆的面积.

详解:因为

,所以 ,外接圆的面积为

,故选 C.

点睛:在三角形 中,与外接圆的半径有关的公式是:(1)

,(2)

.

4.已知等差数列 的前 项和为 ,若

A. 6

B. 7

【答案】B

【解析】

【分析】

根据 的二次函数特性,利用对称轴求出结果.

,则 的值是( C. 8

) D. 9

【详解】 等差数列
对称轴为: 又

可看做关于 的二次函数且

本题正确选项:

【点睛】本题考查等差数列前 项和的二次函数性,属于基础题.

5.在△ABC 中,

,则 ( )

A.

B.

C. 或

D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】 利用余弦定理构造方程,解方程求得结果. 【详解】由余弦定理:

可得:

解得:



本题正确选项:

【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,考查基础运算能力.

6.已知等差数列 满足



,则它的前 10 项的和

A. 138

B. 135

C. 95

【答案】C

【解析】

() D. 23

试题分析:∵

,∴

,∴







考点:等差数列的通项公式和前 n 项和公式.

7.已知



,则 等于(



A.

B.

C. 或

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

通过

可知 与 夹角为 或 ,从而求得

,开方得结果.

【详解】由

可知: ,即 与 夹角为 或

或 或
本题正确选项: 【点睛】本题考查复合向量模长的运算,首先要能够通过条件确定两向量平行,然后先求解模长的平方, 将向量运算转化为模长运算是解题的关键.

8.等差数列 的公差为

,且

A. 8

B. 4

【答案】A

【解析】

若 C. 6

,则 ( ). D. 12

【分析】 由等差数列性质可知 【详解】

,从而求得结果. 且 为等差数列
,即

本题正确选项: 【点睛】本题考查等差数列性质的应用,属于基础题.

9.已知等差数列 的前 项和为 ,且



()

A. 104 【答案】C 【解析】 【分析】 将

B. 78

C. 52

化成 和 的形式,得到二者关系,求得 ,利用

【详解】 ,即

D. 39 求得结果.

本题正确选项: 【点睛】本题考查等差数列基本项的计算、性质的应用,属于基础题. 10.如图,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB= BD,BC=2BD,则 sinC 的值为(  )

A.

B.

【答案】D

【解析】

试题分析:设

C.

D.

,在

中,由余弦定理得

,在

中由正弦定理得

考点:解三角形 点评:解三角形的题目常借助于正余弦定理实现边与角的互化

11.在 中,设

,则动点 M 的轨迹必通过 的( )

A. 垂心 【答案】D 【解析】

B. 内心

C. 重心

【分析】

根据已知条件可得

,整理可得

可知

,从而可知 在 中垂线上,可得轨迹必过三角形外心.

【详解】

D. 外心 ,若 为 中点,

设 为 中点,则

为 的垂直平分线

轨迹必过 的外心

本题正确选项:

【点睛】本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题,关键是能够通过运算法则将已知条

件进行化简,整理为两向量垂直的关系,从而得到结论.

12.已知两点

为坐标原点,点 在第二象限,且

,设

,则 等于(



A.

B. 2

C. 1

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

假设 点坐标,利用坐标运算建立方程,求得结果.

【详解】由

且 在第二象限,可设







得:

本题正确选项: 【点睛】本题考查平面向量的线性运算,属于基础题.
二、填空题:(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.在 中,已知
【答案】 【解析】

,当 时, 的面积为________.



得,



所以,

.

考点:平面向量的数量积、模,三角形的面积.

14.设 0<θ< ,向量 =(sin 2θ,cos θ), =(cos θ,1),若 ,则 tan θ=________. 【答案】   【解析】 【分析】 根据两个向量平行的坐标表示列出方程,利用二倍角公式化简后可求得 的值. 【详解】因为向量 a∥b,所以 sin 2θ-cos θ·cos θ=0,又 cos θ≠0,所以 2sin θ=cos θ,故
tan θ= . 【点睛】本小题考查两个向量平行的坐标表示,考查二倍角公式以及同角三角函数的基本关系式.属于基础 题.

15.已知数列 【答案】 【解析】

是递减数列,且对于任意正整数

恒成立,则 的取值范围是_________.

是递减数列,

恒成立



对于 n∈N*恒成立.而

在 时取得最小值 3,



故答案为

点睛:数列单调性的考查,直接利用递减数列符合

恒成立,把问题转化为恒成立问题来解,采用

变量分离很容易得解.

16.数列 中,



【答案】 【解析】 【分析】

,则 =__________.

根据已知递推关系式可知数列 为等差数列,求解出 的通项后,得到所求通项公式.

【详解】由

得:

可知数列 为等差数列,首项为

,公差

本题正确结果: 【点睛】本题考查利用递推关系求解数列通项公式问题,关键是能够通过递推关系式证得与 相关的数列

为等差数列,从而使问题得以求解.

三、解答题:(本题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤)

17.设两个向量 、 ,满足



, 、 的夹角为 ,若向量

与向量

的夹

角为钝角,求实数 的取值范围.

【答案】 【解析】

试题分析:夹角为钝角可通过数量积为负来解决,但它们之间并不等价,简洁地说,数量积为负排除反向, 即可保证夹角为钝角;数量积为正排除同向,即可保证夹角为锐角.不作排除,就要犯错.

试题解析:由已知得

,



.

∴(

)(

)

6分

欲使夹角为钝角,需



(

.得 )( )

.8分 10 分



,此时

. 11 分



时,向量



的夹角为 .

∴ 夹角为钝角时, 的取值范围是 考点:向量数量积的应用之一:求夹角.

18.等差数列 中, ,



. 13 分

(1)求数列 的通项公式;

(2)设

,求数列 的前 n 项和.

【答案】(1) 【解析】 【分析】

;(2)

(1)根据已知求出 和 ,从而得到通项公式;(2)写出 的通项公式,可知当

时,

;从而可分别在两个范围内求解 .

时,

,当

【详解】(1)由题意得:

(2)



时, ;

时,



时,



时,



综上所述: 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求解、含绝对值的数列前 项和问题.解决含绝对值的求和问题,关 键是要区分清楚通项正负的临界点,从而分别在两段区间内进行求和运算.

19.已知各项均为正数的数列 中, , 是数列 的前 项和,对任意的

,有

. (1) 求常数 的值;

(2) 求数列 的通项公式.

【答案】(1) ;(2)

.

【解析】

试题分析:(1)因为

,代入已知条件即可解得 ;(2)由(1)将关系式化简,考虑到是

系,故可利用

解答,最后利用等差数列前 项和公式计算.

的关

试题解析:(1)由 及



得:



.4分

(2)由







由②—①,得

即:

5分 ,

7分

由于数列 各项均为正数,

,即



数列 是首项为 ,公差为 的等差数列, 8 分

数列 的通项公式是

, 10 分

. 12 分 考点:等差数列通项公式、等差数列前 项和公式、

间的关系.

20.已知 中,角

所对的边分别是 ,向量



(1)求 的大小;

(2)若向量



共线,且 ,求 的值.



.

【答案】(1) ;(2)

,

【解析】

【分析】

(1)将 用

整理为

,从而解方程得到 ;(2)利用 与 共线得到

进行整理,可求得 ;再利用正弦定理求解 .

,利

【详解】(1)

(2) 与 共线 又

由正弦定理

可得:

; 【点睛】本题考查平面向量与三角函数、解三角形的综合问题,包括:向量数量积、向量共线定理、三角

函数化简、两角和差公式应用、正余弦定理解三角形的知识;综合的知识点较多,但都属于基础知识点,

难度适中.

21.已知 中,角

所对的边分别是 ,向量



,且

(1)求 的大小;

(2)若

,求 的值.

【答案】(1) 【解析】 【分析】

;(2)

(1)根据 得到 余弦定理建立方程,求解得到 【详解】(1)由 可知: 由正弦定理可得: 又 均为三角形内角,即

,利用正弦定理化简可知

,从而求得角 ;(2)根据

(2)由余弦定理可知:

即: 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题,属于基础题.

22.在锐角三角形 (1)求角 ;

中,

分别是角

的对边,且

(2)若 (3)求



,求

的取值范围。

的面积。

【答案】(1)

(2)

(3) 【解析】 本试题主要是考查了解三角形,两角和差的公式的运用,以及三角形面积公式的综合运用。

(1)利用已知中的边的关系,结合余弦定理得到角 ;

(2)根据上一问的结论,将 然后结合面积公式,求 的面积。

,化为一个角

= 的方程,然后求解得到角 A,

(3)首先将

化为单一角 的三角函数,然后借助于三角函数的性质,求解其取值范围



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