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【金版教程】2019高考数学文二轮复*讲义 第三编 考前冲刺攻略 第三步 应试技能专训 二 中档题专练

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二、中档题专练 (一 ) 1.2016· 长春监测]已知函数 f(x)=2sinxcosx+2 3cos2x- 3. (1)求函数 y=f(x)的最小正周期和单调递减区间; (2)已知△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,其
?A π? 13 3 中 a=7, 若锐角 A 满足 f? 2 -6?= 3, 且 sinB+sinC= 14 , 求△ABC ? ?

的面积. 解
?

(1)f(x) = 2sinxcosx + 2 3 cos2x - 3 = sin2x + 3 cos2x =
?

π? ? 2sin?2x+3?, 2π 因此 f(x)的最小正周期为 T= 2 =π. π π 3π f(x)的单调递减区间为 2kπ+2≤2x+3≤2kπ+ 2 (k∈Z), π 7π? ? 即 x∈?kπ+12,kπ+12?(k∈Z).
? ? ? ?A π? π? ?A π? (2)由 f? 2 -6?=2sin?2? 2 -6?+3?=2sinA= 3, 又 A 为锐角, 所以 ? ? ? ? ? ?

π A=3. a 7 14 由正弦定理可得 2R=sinA= = , 3 3 2 b+c 13 3 sinB+sinC= 2R = 14 , b2+c2-a2 13 3 14 则 b+c= 14 × =13,由余弦定理可知,cosA= 2bc = 3 ?b+c?2-2bc-a2 1 =2,可求得 bc=40, 2bc

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1 故 S△ABC=2bcsinA=10 3. 2.2016· 开封一模]如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90° , 1 CD∥AB,AD=CD=2AB=2,将△ADC 沿 AC 折起,使*面 ADC⊥ *面 ABC,得到几何体 D-ABC,如图 2 所示.

(1)求证:AD⊥*面 BCD; (2)求三棱锥 C-ABD 的高. 解 (1)证明:∵*面 ADC⊥*面 ABC,且 AC⊥BC,

∴BC⊥*面 ACD,即 AD⊥BC,又 AD⊥CD, ∴AD⊥*面 BCD. (2)由(1)得 AD⊥BD, 1 ∴S△ADB=2 3,∵三棱锥 B-ACD 的高 BC=2 2,S△ACD=2,∴3 1 ×2 3h=3×2×2 2, 2 6 ∴可解得 h= 3 . 3.2016· 河南质检]某园林基地培育了一种新观赏植物,经过一 年的生长发育,技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位:厘米)作 为样本(样本容量为 n)进行统计, 按照 50,60), 60,70), 70,80), 80,90), 90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本高度的茎叶图(图中 仅列出了高度在 50,60),90,100]的数据).
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(1)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x、y 的值; (2)在选取的样本中,从高度在 80 厘米以上(含 80 厘米)的植株中 随机抽取 2 株,求所抽取的 2 株中至少有一株高度在 90,100]内的概 率. 解 8 (1)由题意可知,样本容量 n= =50, 0.016×10

2 y= =0.004, 50×10 x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030. (2)由题意可知, 高度在 80,90)内的株数为 5, 记这 5 株分别为 a1, a2,a3,a4,a5,高度在 90,100]内的株数为 2,记这 2 株分别为 b1, b2.
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抽取 2 株的所有情况有 21 种,分别为: (a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2, a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,a5),(a3, b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1, b2). 其中 2 株的高度都不在 90,100]内的情况有 10 种,分别为:(a1, a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a3, a4),(a3,a5),(a4,a5). 10 ∴所抽取的 2 株中至少有一株高度在 90,100]内的概率 P=1-21 11 =21. (二 ) 1.2016· 云南统检]设数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意正整数 n,3an-2Sn=2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:Sn+2Sn<S2 n+1. 解 (1)∵对任意正整数 n,3an-2Sn=2,∴3an+1-2Sn+1=2,

∴3an+1-3an-2Sn+1+2Sn=0,即 3an+1-3an-2(Sn+1-Sn)=0, ∴3an+1-3an-2an+1=0,解得 an+1=3an. 当 n=1 时,3a1-2S1=2,即 a1=2, ∴an=2×3n-1. ∴数列{an}的通项公式为 an=2×3n-1. 2×?1-3n? n (2)证明:由(1)可得 Sn= =3 -1, 1-3
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∴Sn+1=3n+1-1,Sn+2=3n+2-1,
n ∴Sn+2Sn-S2 n+1=-4×3 <0, 2 ∴Sn+2Sn<Sn +1 .

2.2016· 山西联考]某地随着经济的发展,居民收入逐年增长, 下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额),如下表 1: 年份 x 储蓄存款 y(千亿元) -2010,z=y-5 得到下表 2: 时间代号 t z 1 0 2 1 3 2 4 3 5 5 2011 5 2012 6 2013 7 2014 8 2015 10

为了研究计算的方便,工作人员将上表的数据进行了处理,t=x

(1)求 z 关于 t 的线性回归方程; (2)通过(1)中的方程,求出 y 关于 x 的回归方程; (3)用所求回归方程预测到 2020 年年底,该地储蓄存款额可达多 少? n ∑ xiyi-n x ·y ^ ^ ^ ^ i=1 ^ 附:对于线性回归方程y=bx+a,其中b= n ,a= 2 2 ∑ xi -n x i=1 ^ y -b x 解 5 5 (1) t =3, z =2.2, ∑ tizi=45, ∑ ti2=55, i=1 i=1

^ 45-5×3×2.2 ^ ^ b= =1.2,a= z -b t =2.2-3×1.2=-1.4, 55-5×9 ∴z=1.2t-1.4. (2)将 t=x-2010,z=y-5,代入 z=1.2t-1.4,
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得 y-5=1.2(x-2010)-1.4,即 y=1.2x-2408.4. (3)∵y=1.2×2020-2408.4=15.6, ∴预测到 2020 年年底,该地储蓄存款额可达 15.6 千亿元. 3. 2016· 贵州七校联考]如图,几何体 EF-ABCD 中,CDEF 为边 长为 2 的正方形,ABCD 为直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,AD=2, AB=4,∠ADF=90° .

(1)求证:AC⊥FB; (2)求几何体 EF-ABCD 的体积. 解 (1)证明:由题意得,AD⊥DC,AD⊥DF,且 DC∩DF=D,

∴AD⊥*面 CDEF,∴AD⊥FC. ∵四边形 CDEF 为正方形,∴DC⊥FC, ∵DC∩AD=D,∴FC⊥*面 ABCD,∴FC⊥AC. 又∵四边形 ABCD 为直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB =4, ∴AC=2 2,BC=2 2,则有 AC2+BC2=AB2, ∴AC⊥BC, 又 BC∩FC=C,∴AC⊥*面 FCB,∴AC⊥FB.

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(2)连接 EC,过 B 作 CD 的垂线,垂足为 N, 易知 BN⊥*面 CDEF,且 BN=2. 1 1 16 ∵VEF-ABCD=VE-ABCD+VB-ECF=3S 梯形 ABCD· DE+3S△EFC· BN= 3 , 16 ∴几何体 EF-ABCD 的体积为 3 . (三 ) 1. 2016· 重庆测试]设数列{an}的各项均为正数, 且 a1,22, a2,24, …, an,22n,…成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,若 Sk≥30(2k+1),求正整数 k 的最小值. 解 24 2 (1)设等比数列的公比为 q,则 q =22=2 ,又由题意 q>0,
2

22n 故 q=2,从而 an= q =22n-1,即数列{an}的通项公式为 an=22n-1. (2)由(1)知 a1=2,数列{an}是以 22 为公比的等比数列, 2[1-?22?n] 2 2n 故 Sn= =3(2 -1). 1-22 2 因此不等式 Sk≥30(2k+1)可化为3(22k-1)≥30(2k+1), 2 即3(2k-1)(2k+1)≥30(2k+1),
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因为 2k+1>0,所以 2k≥46,即 k≥log246. 又 5<log246<6,所以正整数 k 的最小值为 6. 2 .某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关 系”的课题研究, 对于高二年级 800 名学生上学期期末数学和物理成 绩,按优秀和不优秀分类得结果:数学和物理都优秀的有 60 人,数 学优秀但物理不优秀的有 140 人, 物理优秀但数学不优秀的有 100 人. (1)能否在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生的数学 成绩与物理成绩有关系? (2)4 名成员随机分两组,每组 2 人,一组负责收集成绩,另一组 负责数据处理, 求学生甲分到负责收集成绩组且学生乙分到负责数据 处理组的概率. n?ad-bc?2 附:K = ,n=a+b+c+d ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

P(K2≥k0) k0 解

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

(1)由题意可得列联表: 物理优秀 数学优秀 60 100 160 物理不优秀 140 500 640 总计 200 600 800

数学不优秀 总计
2

800×?60×500-140×100?2 因为 K = ≈16.667>10.828, 160×640×200×600 所以能在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生的数学成 绩与物理成绩有关. (2)设其他学生为丙和丁,4 人分组的情况如下表: 小组 1 2 3 4 5 6

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收集成绩 数据处理 甲乙 丙丁 甲丙 乙丁 甲丁 乙丙 乙丙 甲丁 乙丁 甲丙 丙丁 甲乙

分组的情况总共有 6 种, 学生甲负责收集成绩且学生乙负责数据 处理占 2 种, 2 所以学生甲负责收集成绩且学生乙负责数据处理的概率 P=6= 1 3.

3.2016· 广州模拟]在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC=AA1 =3,BC=2,D 是 BC 的中点,F 是 C1C 上一点. (1)当 CF=2 时,证明:B1F⊥*面 ADF; (2)若 FD⊥B1D,求三棱锥 B1-ADF 的体积. 解 (1)证明:因为 AB=AC,D 是 BC 的中点,

所以 AD⊥BC. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 因为 B1B⊥底面 ABC,AD?底面 ABC, 所以 AD⊥B1B.

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因为 BC∩B1B=B, 所以 AD⊥*面 B1BCC1. 因为 B1F?*面 B1BCC1, 所以 AD⊥B1F. 在矩形 B1BCC1 中,因为 C1F=CD=1,B1C1=CF=2, 所以 Rt△DCF≌Rt△FC1B1, 所以∠CFD=∠C1B1F,所以∠B1FD=90° . (或通过计算 FD=B1F= 5, B1D= 10, 得到△B1FD 为直角三角 形) 所以 B1F⊥FD. 因为 AD∩FD=D, 所以 B1F⊥*面 ADF. (2)由(1)可得 AD⊥*面 B1DF,AD=2 2, 因为 D 是 BC 的中点,所以 CD=1. 在 Rt△B1BD 中,BD=CD=1,BB1=3, 所以 B1D= BD2+BB2 1= 10.

因为 FD⊥B1D,所以 Rt△CDF∽Rt△BB1D, DF CD 1 10 所以B D=BB ,所以 DF=3× 10= 3 , 1 1 1 1 1 10 所 以 VB1 - ADF = 3 S △ B1DF· AD = 3 × 2 × 3 × 10 ×2 2 = 10 2 9 . (四 )
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1.2016· 贵州八校联考]在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m=(a+b,sinA-sinC),向量 n=(c,sinA-sinB), 且 m∥n. (1)求角 B 的大小; (2)设 BC 中点为 D, 且 AD= 3, 求 a+2c 的最大值及此时△ABC 的面积. 解 (1)因为 m∥n,故有(a+b)(sinA-sinB)-c(sinA-sinC)=0

由正弦定理可得(a+b)(a-b)-c(a-c)=0,即 a2+c2-b2=ac, a2+c2-b2 ac 1 由余弦定理可知 cosB= 2ac =2ac=2,因为 B∈(0,π),所 π 以 B=3. (2)设∠BAD=θ,则在△BAD 中, 2π? ? π 由 B=3可知 θ∈?0, 3 ?,
? ?

BD AB AD 由正弦定理及 AD= 3有sinθ= 2π = π=2; ? ? sin? 3 -θ? sin3
? ? ?2π ? 所以 BD=2sinθ,AB=2sin? 3 -θ?= 3cosθ+sinθ, ? ?

所以 a=2BD=4sinθ,c=AB= 3cosθ+sinθ, π? ? 从而 a+2c=2 3cosθ+6sinθ=4 3sin?θ+6?,
? ?

2π? ? π ?π 5π? π π 由 θ∈?0, 3 ?可知 θ+6∈?6, 6 ?,所以当 θ+6=2,
? ? ? ?

π 即 θ=3时,a+2c 的最大值为 4 3; 1 3 3 此时 a=2 3,c= 3,所以 S=2acsinB= 2 . 2.如图,已知 AF⊥*面 ABCD,四边形 ABEF 为矩形,四边形
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ABCD 为直角梯形,∠DAB=90° ,AB∥CD,AD=AF=CD=2,AB =4.

(1)求证:AC⊥*面 BCE; (2)求三棱锥 E-BCF 的体积. 解 (1)证明:过点 C 作 CM⊥AB,垂足为 M,因为 AD⊥DC,所

以四边形 ADCM 为矩形,所以 AM=MB=2, 又 AD=2,AB=4,所以 AC=2 2,CM=2,BC=2 2, 所以 AC2+BC2=AB2,所以 AC⊥BC,因为 AF⊥*面 ABCD,AF∥ BE, 所以 BE⊥*面 ABCD,所以 BE⊥AC. 又 BE?*面 BCE,BC?*面 BCE,且 BE∩BC=B, 所以 AC⊥*面 BCE. (2)因为 AF⊥*面 ABCD,所以 AF⊥CM, 又 CM⊥AB,AF?*面 ABEF, AB?*面 ABEF,AF∩AB=A,所以 CM⊥*面 ABEF. 1 1 1 8 VE-BCF=VC-BEF=3×2×BE×EF×CM=6×2×4×2=3. 3.电影《功夫熊猫 3》预计在 2016 年 1 月 29 日上映.某地电 影院为了了解当地影迷对票价的看法,进行了一次调研,得到了票价 x(单位:元)与渴望观影人数 y(单位:万人)的结果如下表:

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x(单位:元) 30 40 4 50 3 60 2.5

y(单位:万人) 4.5 是负相关;

(1)若 y 与 x 具有较强的相关关系, 试分析 y 与 x 之间是正相关还 (2)请根据上表提供的数据, 用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回 归方程; (3)根据(2)中求出的线性回归方程,预测票价定为多少元时,能 获得最大票房收入. n ∑ xiyi-n x y ^ i=1 ^ ^ 参考公式:b= , a = y - b x. n 2 ∑ x2 i =n x i=1 解 (1)由表中数据易知,y 随 x 的增大而减小,故 y 与 x 之间是

负相关. (2)由表中数据可得 x =45, y =3.5, 4 ∑ xiyi-4 x i=1 4 y =-35, ∑ xi2-4 x 2=500, i=1

4 ∑ xiyi-4 x y ^ i=1 ^ 则b= 4 =-0.07,a=3.5+0.07×45=6.65, ∑ xi2-4 x 2 i=1 ^ 所以,所求线性回归方程为y=-0.07x+6.65. (3)根据(2)中的线性回归方程,若票价为 x 元,则渴望观影人数 为(-0.07x+6.65)万人, 可预测票房收入为 z=x(-0.07x+6.65)=-0.07x2+6.65x,
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易得,当 x=47.5 时,z 取得最大值,即票价定为 47.5 元时,能 获得最大票房收入.

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