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新版高中物理 第六章 万有引力与航天 6-3 万有引力定律课件 新人教版必修2.ppt

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6.3 万有引力定律

学*目标

学*重点 理解万有引力定律的含义,会用万有引力定律解决 有关实际问题 了解引力常量 G 的测定在科学历史上的重大意义 理解万有引力与重力的关系

考查热度 ★★★ ★★★
★★★★

基础梳理

一、月—地检验 1.问题:地球对月球的引力、地球对地面上物体的引力, 与太阳对地球的引力是否为同一种性质的力?

2.方法:假设是同一种性质的力,即引力与物体间距离的 *方成反比,则加速度与距离的*方也成反比.用下面数据计算 检验:
地表重力加速度 g=9.8 m/s2,地球半径 R=6 400×103 m. 月球轨道半径 r≈60R,周期 T=27.3 天≈2.36×106 s, 计算月球向心加速度 a=4Tπ2 2r=2.7×10-3 m/s2 可以验证ag=Rr22成立,即 a=6102g.

3.结论:地面物体所受地球引力,月球所受地球引力,太 阳与行星间的引力,遵从相同的规律.

二、万有引力定律 1.内容:自然界中任何两个物体都是相互吸引的,引力的 大小跟这两个物体的质量的乘积成正比,跟他们的距离的二次方 成反比.

2.公式:F=Gmr1m2 2. (1)公式中的 F 表示两物体间的万有引力,m1、m2 是两个物 体的质量,r 是两物体间的距离,即把两物体看成质点来处理, 不是两物体外表间距离. (2)计算时注意分母是 r2,不是 r;G 是比例系数,称为万有 引力常量,它是适用于任何两物体的普适恒量,其值由实验测出, G≈6.67×10-11 N·m2/kg2.

3.万有引力定律的四个特性 (1)普遍性.万有引力不仅存在于星球间,任何客观存在的有 质量的物体之间都存在着这种相互吸引力. (2)相互性.两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用 力,它们大小相等,方向相反,分别作用在两个物体上.

(3)宏观性.在通常情况下万有引力非常小,只有在质量巨大 的星球间或天体与天体附*的物体间,它的存在才有实际的物理 意义,故在分析地球表面物体受力时,不考虑其他物体对它的万 有引力.
(4)特殊性.两个物体间的万有引力只与它们本身的质量有 关,与它们之间的距离有关.而与所在空间的性质无关.

4.适用条件 (1)万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算.当两物体 间的距离远远大于每个物体的尺寸时,物体可以看成质点,直接 使用万有引力定律计算. (2)当两物体是质量均匀分布的球体时,它们间的引力也可直 接用公式计算,但式中的 r 是指两球心间距离. (3)当所研究物体不能看成质点时,可以把物体假想分割成无 数个质点,求出两个物体上每个质点与另一物体上所有质点的万 有引力,然后求合力.(此方法仅给学生提供一种思路)

三、万有引力与重力 1.万有引力与重力 我们知道在地球和物体之间的吸引力也是 万有引力,而重力是由于地球的吸引而产生的, 那么它们空间有什么关系呢?由于地球在不停 地自转,地球上的物体随地球一起绕地轴做匀 速圆周运动.地球表面上的物体所受的万有引 力 F 引可以分解成物体随地球自转做匀速圆周 运动的向心力 F 向(方向指向地轴的某一点)和所受的重力 mg,其 中,F 引=GMRm2 ,F 向=mrω2,重力只是万有引力的一个分力.万 有引力 F 引、重力 mg 和物体由于自转所需要的向心力 F 向,三个 力的关系如图所示.

(1)物体在一般位置(不在赤道和两极)时,F 向=mrω2,F 向、 F 引、mg 不在一条直线上.
(2)当物体在赤道上时,F 向达到最大值 F 向 max,且 F 向 max= mRω2,此时重力有最小值,为 F 引-F 向=GMRm2 -mRω2.
(3)当物体在两极时 F 向=0,mg=F 引,重力达到最大值,为 GMRm2 .可见只有在两极时,重力才等于万有引力,在其他位置时 重力均小于万有引力.

2.*鸫 由于物体随地球自转需要的向心力很小,一般情况下认为重 力*似等于万有引力.因此不考虑(忽略)地球自转的影响时,在 地球附*有 mg=GMRm2 ,化简得 gR2=GM.gR2=GM 通常叫做 *鸫皇剑视糜谌魏翁焯澹饕糜谀承翘宓闹柿 M 未知 的情况下,用该星体的半径 R 和表面的“重力加速度 g”代换 M.

3.地球重力加速度 g 及变化 (1)地球表面的重力加速度: 在地球表面处万有引力*似等于重力,则GMR2m=mg,所以 g=GRM2 (R 为地球半径,M 为地球质量).

(2)某高度处的重力加速度: 设离地球表面高 h 处的重力加速度为 g′,则(GR+Mmh)2= mg′,所以 g′=(RG+Mh)2=(R+R2h)2g,可见重力加速度随 高度的增加而减小.

(3)某深度处的重力加速度:

设离地球表面深 d 处的重力加速度为 g′,则(GRM-′dm)2=

mg′,所以 g′=(GRM-′d)2



注意,因为在匀质球的空腔内任意位置处,质点所受球的万

有引力的合力为零,所以 M′为刨去深度 d 的球壳质量后地球剩

下的质量,且有

M′=(R-R d)3M



g=GRM2



联立①②③式得 g′=R-R dg,可见重力加速度随深度的增

加而减小.

4.物体在赤道上完全失重的条件 设想地球自转角速度加快,使赤道上的物体刚好处于完全失 重状态,即 FN=0,有 FN=mg-mRω02, 则 mg=ma0=mRω02=mvR02=m(2Tπ0 )2R.

所以完全失重的临界条件为 a0=g=9.8 m/s2,ω0= Rg =8100 rad/s v0= Rg=7.9 km/s T0=2π Rg =5 075 s≈85 min. 上述结果恰好是*地人造地球卫星的向心加速度、角速度、 线速度和周期.

5.地球不因自转而瓦解的最小密度 地球以 T=24 h 的周期自转,不发生瓦解的条件是赤道上的 物体受到的万有引力大于或等于该物体做圆周运动所需的向心 力,即GMR2m≥m(2Tπ)2R 根据质量与密度的关系,有 GRM2=43GπρR 所以,地球的密度应为 ρ≥G3πT2=18.9 kg/m3 即最小密度为 ρmin=18.9 kg/m3.地球*均密度的公认值为 ρ0 =5 523 kg/m3?ρmin,足以保证地球处于稳定状态.

四、考点鸟瞰

考点鸟瞰 规律一:对万有引力定律的理解 规律二:忽略自转,重力与万有引力的关系 规律三:需要考虑自转,重力与万有引力的关系

高考热度 ★★★ ★★★★ ★★★★

规律方法

规律一 对万有引力定律的理解
要正确理解公式 F=Gmr1m2 2中 r 的取值: 1.r 是两个质点间的距离,当两个物体的距离远大于自身尺 寸时,可按质点处理. 2.对两个质量分布均匀的球体,r 是两球体球心间的距离. 3.补偿法:被挖后的均匀球体不能当作一个质点来处理, 无法确定 r 值,用补偿法转化为球体处理. 4.当 r→0 时,两物体不能视为质点,万有引力定律不再适 用.

(多选)下列说法正确的是( ) A.万有引力定律 F=Gmr1m2 2适用于两质点间的作用力计算 B.据 F=Gmr1m2 2,当 r→0 时,物体 m1、m2 间引力 F 趋于 无穷大 C.把质量为 m 的小球放在质量为 M、半径为 R 的大球球 心处,则大球与小球间万有引力 F=GMRm2 D.两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用力也可 以用 F=Gmr1m2 2计算,r 是两球体球心间的距离

【答案】 AD 【解析】 万有引力定律适用于两质点间的相互作用,当两 球体质量分布均匀时,可认为物体质量分布在球心计算万有引 力,故 A、D 项正确.当 r→0 时,两物体不能视为质点,万有 引力定律不再适用,B 项错误;大球 M 球心周围物体对小球 m 的引力合力为零,故 C 项错误.

对于万有引力定律的数学表达式 F=Gmr1m2 2,下列 说法正确的是( )
A.公式中 G 为引力常量,是牛顿通过计算得出的 B.引力常量 G 与中心天体有关,与行星无关 C.m1、m2 之间的万有引力总是大小相等,与 m1、m2 的质 量是否相等无关 D.m1、m2 之间的万有引力总是大小相等、方向相反,是一 对*衡力

【答案】 C 【解析】 万有引力常量是卡文迪许通过实验测出的,是一 个确定的常量,故 A 项错误,引力常量 G 与两个物体都无关, 故 B 项错误.两物体间的万有引力是一对作用力和反作用力,故 C 项对,D 项错误.

关于万有引力定律 F=GMr2m,下列说法中正确的是 ()
A.牛顿是在开普勒揭示的行星运动规律的基础上,发现了 万有引力定律,因此万有引力定律仅适用于天体之间
B.卡文迪许首先用实验比较准确地测定了引力常量 G 的数 值
C.两物体各自受到对方的引力的大小不一定相等,质量大 的物体受到的引力也大
D.万有引力定律对质量大的物体适用,对质量小的物体不 适用

【答案】 B 【解析】 万有引力定律适用于所有物体间,A、D 项错误, 根据物理史可知卡文迪许首先用实验比较准确地测定了引力常 量 G 的数值,B 项对,两物体各自受到对方的引力的大小遵循牛 顿第三定律,C 项错误.

如图所示,阴影区域是质量为 M、半径为 R 的球体 挖去一个小圆球后的剩余部分,所挖去的小圆球的球心 O′和大 球体球心间的距离是R2 ,求球体剩余部分对球体外离球心 O 距离 为 2R、质量为 m 的质点 P 的引力(P 在两球心 OO′连线的延长 线上).

【答案】 F=G4MRm2 -G5M0Rm2 【解析】 万有引力定律只适用于两个质点间的作用,只有 对均匀球体,才可将其看作是质量全部集中在球心的一个质点, 球体剩余部分不能当作一个质点来处理的,故可用补偿法,将挖 去的球补上.

则完整的大球对球外质点 P 的引力 F1=(G2MRm)2=G4MRm2 半径为R2 的小球的质量 M′=43π(R2 )3·ρ=43π(R2 )3·43πMR3=18M

补上的小球对质点 P 的引力 F2=G(M52′R)m 2=G4M25′R2m=G5M0Rm2 因而挖去小球的阴影部分对 P 质点的引力 F=F1-F2=G4MRm2 -G5M0Rm2 .

规律二 忽略自转,重力与万有引力的关系 忽略地球自转,则有: 1.在地面附*:mg=GMRm2 ,地表重力加速度 g=GRM2 . 2.在距地面高 h 处:mg′=G(RM+mh)2,重力加速度 g′ =G(R+Mh)2.

假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体.一

矿井深度为 d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为

零.矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )

A.1-Rd C.(R-R d)2

B.1+Rd D.(R-R d)2

【答案】 A 【解析】 在地球表面 mg=GRM2m,又 M=ρ43πR3,所以 g =GRM2=43πGρR,因为球壳对球内物体的引力为零,所以在深 为 d 的矿井内 mg′=G(R-Md)2m,得 g′=G(R-Md)2=43π Gρ(R-d),所以g′ g =R-R d=1-Rd .

如图所示,火箭内*台上放有测试 仪器,火箭从地面启动后,以加速度g2竖直向上 匀加速运动,升到某一高度时,测试仪对*台的 压力为启动前压力的1178,已知地球半径为 R,求 火箭此时离地面的高度(g 为地面附*的重力加速度).

【答案】 H=R2 【解析】 取测试仪为研究对象,火箭启动前、后受力如图 甲、乙所示,
火箭启动前:据*衡条件 FN1=mg

火箭启动后:据牛顿第二定律 FN2-mg1=m·g2 由题意知 FN2=1178FN1,所以 g1=49g 在地面:mg≈GmRM2 火箭距地面高度为 H 处:mg1=G·(RM+mH)2 所以49g=(Rg+RH2 )2 解得 H=R2

1990 年 5 月,紫金山天文台将他们发现的第 2752

号小行星命名为吴健雄星,该小行星的半径为 16 km.若将此小行

星和地球均看成质量分布均匀的球体,小行星密度与地球相

同.已知地球半径 R=6 400 km,地球表面重力加速度为 g.这个

小行星表面的重力加速度为( )

A.400g

B.4100g

C.20g

D.210g

【答案】 B 【解析】 质量分布均匀的球体的密度 ρ=3M/4πR3,地球 表面的重力加速度 g=GM/R2=4πG3Rρ 吴健雄星表面的重力加速度 g′=GM/r2=4πG3 rρ g/g′=R/r=400,g′=4100g,故 B 项正确.

规律三 需要考虑自转,重力与万有引力的关系
在赤道处,物体的万有引力分解为两个同方向的力,一个是 重力,另一个提供向心力.认为物体与地球一起自转则GMR2m- FN=m4Tπ2 2R,其中 R 为地球半径,T 为地球自转周期.以地球 表面为参考系,认为物体静止在赤道表面则有 FN=mg,上述两 式同时成立.

(2014·海南)设地球自转周期为 T,质量为 M,引力

常量为 G,假设地球可视为质量均匀分布的球体,半径为 R.同一

物体在南极和赤道水*面上静止时所受到的支持力之比为( )

GMT2 A.GMT2-4π2R3

GMT2 B.GMT2+4π2R3

GMT2-4π2R3 C. GMT2

GMT2+4π2R3 D. GMT2

【答案】 A

【解析】 在赤道上:GMRm2 -NC=m4Tπ2 2R,可得 NC=GMRm2

-m4Tπ2 2R



在南极:GMRm2 -NN=0,NN=GMRm2



由①②式,可得NNNC=GMTG2M-T4π2 2R3,A 项正确.

如图所示,一个质量均匀分布

的星球,绕其中心轴 PQ 自转,AB 与 PQ 是

互相垂直的直径.星球在 A 点的重力加速度

是 P 点的 90%,星球自转的周期为 T,万有

引力常量为 G,则星球的密度为( )

0.3π A. GT3
10π C.3GT2

3π B.GT2
30π D. GT2

【答案】 D 【解析】 因为两极处的万有引力等于物体的重力,故:GP =GMR2m 由于赤道处的向心力等于万有引力与物体在赤道处的重力 之差,故:GMR2m-0.9·GMR2m=m4Tπ2 2R 解得:M=40GπT22R3 则星球的密度:ρ=4πMR3=3G0Tπ2
3

聚焦高考

1.基本考查点为:万有引力定律的理解和应用. 2.难点:与运动学的综合应用. 3.常考题型:常以多项选择题形式考查,也有计算题.

1.(2016·课标全国Ⅲ)关于行星运动的规律,下列说法符合 史实的是( )
A.开普勒在牛顿运动定律的基础上,导出了行星运动的规 律
B.开普勒在天文观测数据的基础上,总结出了行星运动的 规律
C.开普勒总结出了行星运动的规律,找出了行星按照这些 规律运动的原因
D.开普勒总结出了行星运动的规律,发现了万有引力定律

答案 B 解析 开普勒在他的导师第谷天文观测数据的基础上,总结 出了行星运动的规律,但并未找出了行星按照这些规律运动的原 因;牛顿在开普勒行星运动定律的基础上推导出万有引力定律, 故 A、C、D 项错误,B 项正确. 点评 本题考查物理学史,是常识性问题,对于物理学上重 大发现、发明、著名理论要加强记忆,这也是考试内容之一.

2.(2014·新课标全国Ⅱ)假设地球可视为质量均匀分布的球

体,已知地球表面重力加速度在两极的大小为 g0,赤道的大小为

g;地球自转的周期为 T,引力常量为 G.则地球的密度为( )

3π A.GT2

·g0g-0 g

3π C.GT2

B.G3πT2·g0g-0 g D.G3πT2·gg0

答案 B 解析 在两极,引力等于重力,则有 mg0=GMRm2 ,由此可 得地球质量 M=g0GR2,在赤道处有 GMRm2 -mg=m4Tπ2 2R,地球 的密度为 ρ=43πMR3=G3πT2·g0g-0 g,故 B 项正确,A、C、D 三项 错误. 点评 考查万有引力定律,掌握牛顿第二定律的应用,注意 地球两极与赤道的重力的区别,知道密度表达式.

3.(2015·重庆)宇航员王亚*在“天宫 1 号”飞船内进行了

我国首次太空授课,演示了一些完全失重状态下的物理现象.若

飞船质量为 m,距地面高度为 h,地球质量为 M,半径为 R,引

力常量为 G,则飞船所在处的重力加速度大小为( )

A.0

GM B.(R+h)2

GMm C.(R+h)2

GM D. h2

答案 B 解析 对飞船受力分析知,所受到的万有引力提供匀速圆周 运动的向心力,等于飞船所在位置的重力,即 G(RM+mh)2=mg, 可得飞船的重力加速度为 g=(RG+Mh)2,故选 B 项. 点评 本题考查万有引力的应用,要能根据公式求解重力加 速度,难度不大,属于基础题.

4.(2015·海南)若在某行星和地球上相对于各自水*地面附 *相同的高度处、以相同的速率*抛一物体,它们在水*方向运

动的距离之比为 2∶ 7.已知该行星质量约为地球的 7 倍,地球的 半径为 R,由此可知,该行星的半径为( )

A.12R

B.72R

C.2R

D. 27R

答案 C

解析 *抛运动在水*方向上做匀速直线运动,即 x=v0t,

在竖直方向上做自由落体运动,即 h=12gt2,所以 x=v0 2gh,

两种情况下,抛出的速度相同,高度相同,所以g行=7,根据公 g地 4

M行



GMRm2 =mg

可得

g=GRM2 ,

故g行=R行2=7,解得 g地 M地 4

R

行=2R,故

R地2

C 项正确.

点评 解决本题的关键知道*抛运动在水*方向和竖直方 向上的运动规律,以及掌握万有引力等于重力这一理论,并能灵 活运用.

5.卡文迪许利用如图所示的扭秤 实验装置测量了引力常量 G.
(1)( 多 选 题 ) 为 了 测 量 石 英 丝 极 微 小的扭转角,该实验装置中采取使“微 小量放大”的主要措施是( )
A.减小石英丝的直径 B.增大 T 型架横梁的长度 C.利用*面镜对光线的反射 D.增大刻度尺与*面镜的距离

(2)已知 T 型架水*横梁长度为 l,质量分别为 m 和 m′的球, 位于同一水*面内,当横梁处于力*胶庾刺保獾 m、m′ 连线长度为 r,且与水*横梁垂直,同时测得石英丝的扭转角度 为 θ,由此得到扭转力矩 kθ(k 为扭转系数且已知),则引力常量 的表达式 G=________.

答案

(1)CD

kθr2 (2)mm′l

解析 (1)为了测量石英丝极微小的扭转角,该实验装置中采

取使“微小量放大”.利用*面镜对光线的反射,来体现微小形

变的.当增大刻度尺与*面镜的距离时,转动的角度测量更明

显.因此 C、D 两项正确;当减小石英丝的直径时,会导致石英

丝更容易转动,对测量石英丝极微小的扭转角却没有作用,故 A

不正确;当增大 T 型架横梁的长度时,会导致石英丝更容易转动,




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