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2019-2020学年河南省南阳市第一中学高二上学期开学考试数学试题 Word版

南阳一中 2019 年秋期高二开学考试

数学试题

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

1.已知 a、b 是异面直线,直线 c∥直线 a,则直线 c 与直线 b( )

A.异面

B.相交

C.平行

D.不可能平行

2.已知等差数列 中,



,则 的值为( )

A.15

B.17

C.22

D.64

3.三个数 a ? 70.3,b ? 0.37 , c ? ln 0.3 大小的顺序是( )

A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? a ? c

D. c ? a ? b

? ? 4.等比数列 an 满足 a5 ? a1 ? 15 , a4 ? a2 ? 6 ,则公比 q 的值为( )

A.2

B. 1 2

5.若 tan(α-1π2)=2,则 tan(α-π3)=(

1 A.3

B.3

C.1
) C.-13

D.2 或 1 2
D.-3

6.设数列 是递增的等差数列,前三项之和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是( )

A.1

B.2

C.4

D.8

? ? 7.已知数列 an 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, 2Sn ? an?1 ,则 Sn ? (

)

A. 2n?1

B. 2n ?1

C. 3n?1

D. 3n ? 2

8.若 α∈(0,π),且 sin2α+cos α=14,则 tan α 的值等于(

)

2 A. 2

3 B. 3

C.- 2

D.- 3

9.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则 f(7)=(

)

A.-2

B.2

C.-98

D.98

10.已知数列{an

}

中,

a3

=2



a7

=1

.若数列{ 1 an

}

为等差数列,则

a9

=

(

)

A. 1 2

B. 5 4

C. 4 5

D. ? 4 5

11.中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为

难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行数里,请公仔细算相还”.其意思为:“有

一个人走 378 里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了

6 天后到达目的地”,请问从第几天开始,走的路程少于 30 里( )

A.3

B.4

C.5

D.6

1

12.若三个非零且互不相等的实数

成等差数列且满足

,则称

成一

个“ 等差数列”.已知集合

中,“ 等差数列”的个数为( )

A.25

B.50

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

,则由 中的三个元素组成的所有数列

C.51

D.100

13.如右图所示的数阵中,用 A?m, n? 表示第 m 行的第 n 个数,

则以此规律 A?8, 2? 为__________.

14.长方体的长,宽,高分别为 3,2,1,其顶点都在球 O 的球面 上,则球 O 的表面积为__________.
15.已知 a,b 为单位向量,且 a·b=0,若 c ? 2a ? 5b , a , c 为 a 与 c 的夹角,则

cos a ,c ? ___________.
16.数列{an}是等差数列,数列{bn}满足 bn=anan+1an+2(n∈N*),设 Sn 为{bn}的前 n 项和.若

a12

?

3 8

a5

?

0

,则当

Sn

取得最大值时

n

的值等于_____.

三、解答题
? ? 17.(10 分)等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,

(1)求 ?an ? 的通项公式;

且 a1 ? a10 ? 20 .

(2)求满足不等式 Sn ? 3an ? 2 的 n 的值.

18.(12 分)已知数列{an } 前 n 项和 Sn ? n2 ? 27n , (1)求数列{an } 的通项公式 (2)求数列{| an |} 的前 20 项和T20 ;
2

19.(12 分) 已知圆 C : x2 ? y2 ? 4x ? 6 y ?12 ? 0 , 点 A(3,5) ,求: (1)过点 A 的圆的切线方程; (2) O 点是坐标原点,连结 OA , OC ,求 ?AOC 的面积 S .

? ? 20.(12 分)已知数列 an 满足 an?1 ? 2an ? 2n?1 ,且 a1 ? 2 .

(1)证明:数列

? ? ?

an 2n

? ? ?

是等差数列;

? ? (2)设数列 cn ? 2n ? n ,求数列 cn 的前 n 项和 Sn .

21.

(12

分)已知向量

? m

?

(sin

x,1),

? n

?

(

3Acosx, A cos2x)(A ? 0) ,函数 f (x) ? m ? n 的

2

最大值为 6. (1)求 A ;

(2)将函数 y ? f (x) 的图象向左平移 ? 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为 12

原来的 1 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g(x) 的图象.求 g(x) 在[0, 5? ] 上的值域.

2

24

3

22.(12 分)已知数列?an?,{bn}满足 an?1 ? an = 2?bn?1 ? bn ?,?n? N? ? (1)若 a1 ? 1,bn ? 2n ? 3, 求数列?an?的通项公式;
(2)若 a1 = 6, bn = 2n , ?an ? 2n ?1? 2? 对一切 n ? N? 恒成立 , 求实数 ? 取值范围.
4

南阳一中 2019 年秋期高二开学考试数学试题答案

一、选择题 DAADA BCDAC BB

二、填空题

13.

1

14.14?

15.

2 3

16.16

122

三、解答题

17.解:(Ⅰ)设数列 的公差为 d,



,得

①.

由 a1 ? a10 ? 20 ,得10a1 ? 45d ? 100 ②

解得





所以

.

(Ⅱ)因为

,所以



由不等式

,得



所以

,解得

, 因为

,所以 n 的值为 2,3,4.

18. 解 :( 1 ) 略 解 Sn ? n2 ? 27n ? an ? 2n ? 28 ( 2 ) 当 n ? 14 时 , an ? 0 n ? 14 时

an ? 0 T20 ? (| a1 | ? | a2 | ??? | a13 |) ? (a14 | ??? | a20 |)

? ?(a1 ? a2 ? ? ? a13 ) ? a14 ? a15 ? ? ? a20 ? ?S13 ? S20 ? S13 ? S20 ? 2S13 ? 224

19. 解:(1)圆 C : (x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 .

当切线的斜率不存在时,对直线 x ? 3,C(2,3) 到直线的距离为 1,满足条件;



k

存在时,设直线

y

?5

?

k(x

? 3) ,即

y

?

kx

?

5 ? 3k

,∴

|

?k ? 2 |
2
k ?1

?

1,得

k

?

3 4



∴得直线方程 x ? 3 或 y ? 3 x ? 11 . 44

(2)| AO |? 9 ? 25 ? 34 , l : 5x ? 3y ? 0 , d ? 1 , S ? 1 a | AO |? 1 .

34

2

2

20.解:(I)由已知,两边除以 2n?1 得

an?1 2n?1

?

2an 2n?1

?1,

即 an?1 2n?1

?

an 2n

?

1,又

a1 21

? 1.∴

是以1为首项,公差为 1 的等差数列.

5

(2) cn ? 2n ? n . ∴ Sn ? c1 ? c2 ? c3 ? ??? ? cn
? ?21 ?1? ? ?22 ? 2? ? ?23 ? 3? ? ??? ? ?2n ? n?,

? ? ? ? ?

21 ? 22 ? 23 ? ??? ? 2n

2 1? 2n
? ?1? 2 ? 3? ??? ? n? ?

? ?1? n?? n

1? 2

2

? 2n?1 ? n ?n ?1? ? 2 .
2

? ? 故数列?cn?的前 n 项和为:

Sn

?

2n?1

?

n?n ?1?
2

?

2



n?N* .

21.(Ⅰ) f (x) ? m ? n ? 3Acosxsin x ? A cos2x ? 3 Asin 2x ? A cos2x ? Asin??2x ? ? ?? ,

2

2

2

? 6?

则 A ? 6;

(Ⅱ)函数 y=f(x)的图象像左平移 ? 个单位得到函数 y ? 6sin[2(x ? ? ) ? ? ] 的图象,

12

12 6

再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 1 倍,纵坐标不变,得到函数 2

g(x) ? 6sin(4x ? ? ) .当 x ?[0, 5? ]

3

24

时, 4x ? ? ?[? , 7? ],sin(4x ? ? ) ?[? 1 ,1], g(x) ?[?3,6] .故函数 g(x) 在[0, 5? ] 上

3 36

32

24

的值域为[?3,6] .

? ? 22.解(1)由 a1 ? 1,bn ? 2n ? 3 ,可得 an?1 ? an ? 2 bn?1 ? bn = 4 .

∴数列?an?是首项为 1,公差为 4 的等差数列,

∴ an ?1? 4?n ?1? ? 4n ?3.

? ? (2)由 a1 ? 6, bn ? 2n 及 an?1 ? an ? 2 bn?1 ? bn ,

? ? ? ? 得 an?1 ? an = 2 2n?1 ? 2n ? 2n?1 ,∴ an ? an?1 ? 2n n ? 2 ,

? ? ? ? ∴ an ? an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ? ? ?a3 ? a2 ? ? ?a2 ? a1 ? ? a1

6

? 2n ? 2n?1 ? ? 23 ? 22 ? 6 ? 4(1? 2n?1) ? 6 ? 2n?1 ? 2(n ? 2) ,
1? 2
又 a1 ? 6 满足上式,∴ an ? 2n?1 ? 2(n ? N? ) . ∵ ?an ? 2n ?1? 2? 对一切 n ? N? 恒成立,即 2n?1 ? ? ? 2n ?1对一切 n ? N? 恒成立,



?

?

1 2

?

1 2n?1

对一切 n ?

N?

恒成立.又数列

?1

? ?

2

?

1 2n?1

? ? ?

为单调递减数列,



1 2

?

1 2n?1

?

1 2

?

1 21?1

?

3 4

,∴ ?

?

3 4

,∴实数

?

取值范围为 ( 3 4

, ??)



7




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