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第八章 组合变形(材料力学)

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材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案

第八章

组合变形

材 料 力 学 第八章 组合变形

2011年 2011年1月25日 25日

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第八章

组合变形

本 章 内 容 §8-1 组合变形和叠加原理 拉伸或压缩与弯曲的组合 §8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合 偏心拉( §8-3 偏心拉(压)?截面核心 截面核心 扭转与 §8-4 扭转与弯曲的组合 §8-5 组合变形的普遍情况

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组合变形

§8-1 组合变形和叠加原理
一、组合变形的概念 组合变形的
构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变 则构件的变形称为组合变形。 形, 则构件的变形称为组合变形。

二、解决组合变形问题的基本方法-叠加法 解决组合变形问题的基本方法-
叠加原理的成立要求:内力,应力,应变, 叠加原理的成立要求:内力,应力,应变,变 形等与外力之间成线性关系。 形等与外力之间成线性关系。

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组合变形强度计算的基本步骤 组合变形强度计算的基本步骤
(1)将作用在杆件上的载荷按静力等效分解为几组, )将作用在杆件上的载荷按静力等效分解为几组, 使每一组载荷产生一种基本变形。 使每一组载荷产生一种基本变形。 (2)分别计算每种基本变形产生的应力,然后再进行 )分别计算每种基本变形产生的应力, 叠加,得到构件在组合变形时的应力。 叠加,得到构件在组合变形时的应力。 (3)根据危险点的应力状态选用适当的强度理论进行 ) 强度计算。 强度计算。 变形比较简单的情况下, 变形比较简单的情况下,也可按上述方法计算组合变 形杆件的变形,当变形比较复杂时,通常采用能量法计算。 形杆件的变形,当变形比较复杂时,通常采用能量法计算。 能量法计算

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=

+

=

+

+

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三、工程实例

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q
W

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拉伸(压缩) §8-2 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
在外力作用下同时发生拉伸 (压缩 ) 与弯 曲两种基本变形,称为拉弯组合变形。 曲两种基本变形,称为拉弯组合变形。 在计算时不考虑剪力的作用。 在计算时不考虑剪力的作用。 ● 横向力与轴向力共同作用 偏心拉( ● 偏心拉(压)

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一、受力特点 作用在杆件上的外力既有轴向拉( 作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力,还有横向力。 还有横向力。 二、变形特点 杆件将发生拉伸 (压缩 ) 与弯曲组合变形。 与弯曲组合变形。 示例1 示例1 F1 产生弯曲变形 F2 产生拉伸变形 示例2 示例2 Fy 产生弯曲变形 Fx 产生拉伸变形 Fy F
α

F1 F2 F2

Fx

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三、内力分析 横截面上内力
0

MZ

z x

1、拉(压) :轴力 FN

FN

2、弯曲

{ 剪力F (shear force) 剪力F
弯矩 MZ
S

y

因为引起的剪应力较小,故一般不考虑。 因为引起的剪应力较小,故一般不考虑。

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四、应力分析 横截面上任意一点 ( z, y) 处 y) 的正应力计算公式为: 的正应力计算公式为: 1 、拉伸正应力 ( z,y) z,y) MZ
0 z x

FN σ = A
'

FN

2、弯曲正应力

Mz ? y σ = Iz
''

y

FN Mz ? y σ = σ +σ = + A Iz
' ''

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3、危险截面的确定 作内力图 F1 F2 l/2 F2
x

轴力

F2 l/2

FN = F2
弯矩

Fl Mmax = 1 4
所以跨中截面是杆的危险截面

FN图 F1l/4
x

M图 图

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4、计算危险点的应力 F1 F2 l/2 l/2 F2 ⊕ ⊕

σt =

FN A

σb =

Mmax W

-

F2 拉伸正应力 σt = A
Mmax Fl 最大弯曲正应力 σb = ± =± 1 W 4W
杆危险截面 下边缘各点 处上的拉应力为

F2 F l σt max = σt + σb = + 1 A 4W

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五、强度条件 由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态, 由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态,故其 强度条件为

σmax ≤ [σ ]
当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,应分别建立 当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时, 杆件的抗拉、 抗压强度条件。 杆件的抗拉、 抗压强度条件。

σt max ≤ [σt ]

σcmax ≤ [σc ]

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例 号。

结构如图所示,已知最大吊重 结构如图所示,已知最大吊重Fmax = 8kN, AB为工字 , 为工字

钢梁,材料为 钢梁,材料为Q235,许用应σ]=100 MPa ,试选用工字钢型 ,

800

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1. 先计算出 先计算出CD 的杆长

l = 25002 + 8002 = 2620mm = 2.62m
800

2. 取AB为研究对象, 为研究对象, 为研究对象

∑M
FCD
FCD

FCD

=0 2.5 × 2.5 ? F × (2.5 + 1.5) = 0 2.62 = 42kN
A

为计算方便将F 为计算方便将 CD分解 2.5 FCDx = FCD × = 40kN 2.62 0.8 FCDy = FCD × = 12.8kN 2.62

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800

3. 画出 N图和M图 画出F 图和 图 C截面左侧具有最大的轴力和弯 C截面左侧具有最大的轴力和弯 矩为危险截面。 矩为危险截面。
(+)

+
(-)

=

C截面左侧下边缘两种压应力叠加,达到最大应力,为危险点。 截面左侧下边缘两种压应力叠加,达到最大应力,为危险点。 截面左侧下边缘两种压应力叠加

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4. 在还未选定工字钢型号之前, 在还未选定工字钢型号之前,
800

可先不考虑轴向内力F 的影响, 可先不考虑轴向内力 N的影响, 根据弯曲强度条件来选择, 根据弯曲强度条件来选择,然后 根据组合应力进行校核。 根据组合应力进行校核。
M max σ max = ≤ [σ ] Wz 12 × 103 M max = = 12 × 10 ?5 m 3 Wz ≥ 100 ×10 6 [σ ] = 120cm3

(+)

+
(-)

=

查表选用: 查表选用:

I 16

W = 141cm3 A = 26.1cm 2

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5. 校核危险点

800

σ Cmax =

FN Mmax + A Wz

40 ×103 12 × 106 =? ? 2610 141× 103
= 100.5MPa
(+)

> [σ ] = 100MPa

+
(-)

=

由于最大应力超出很小, 由于最大应力超出很小,超出 部分在5%以内, 部分在 以内,仍可认为是安 以内 全的。 全的。因此可以选择 I16

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小型压力机的铸铁框架如图所示。 例8.5 小型压力机的铸铁框架如图所示。已知材料的许 用拉应力 [σt] =30MPa ,许用压应力 [σc] =160MPa。试按 。 立柱的强度确定压力机的许可压力F。 立柱的强度确定压力机的许可压力 。
z0 y z1

F F

350 z 150 50 150 50

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z0

y

z1

F F

350 z 150 50 150 50

解:(1) 确定形心位置

A=15×10-3 m2 ×

Z0 =7.5 cm

计算截面对中性轴 y 的惯性矩

Iy = 5310 cm4

材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案 y

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z0

z1

F F

350 z n n 150 50 150 50

F

n

n

FN My

(2) 分析立柱横截面上的内力和应力 在 n—n 截面上有轴力 FN及弯矩 My

FN = F My = [(35 + 7.5) ×10 ]F = 42.5×10 F
?2 ?2

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z0

y

z1

F F

350 n n 150 z 50 F 150 n n

50

FN My

由轴力 FN产生的拉伸正应力为

FN F σ = = MPa A 15
'

材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案 拉 y z1

第八章 z0

组合变形

F F

350 n n 150 z 50 50 150

F

n

n

FN My

由弯矩 My产生的最大弯曲正应力为

σt′′max =

My z0 Iy

425× 7.5F MPa (+) = 5310

My z1 425×12.5F ′ σc′max = MPa (?) = Iy 5310

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第八章 y

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z0 z

z1

F F

350 n n 150 50 压 50 150

F

n

n

FN My

(3)叠加 在截面内侧有最大拉应力 )

F 425× 7.5F σt max = σ′ + σ''t max = + ≤ [σt ] 15 5310
[F] ≤ 45.1 kN

材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案 y

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组合变形



z0 z

z1

F F

350 n n 150 50 压 50 150

F

n

n

FN My

在截面外侧有最大压应力

F 425×12.5F ≤ [σc ] σcmax = σ′ + σ′′ = ? A 5310
[F] ≤ 171.3 kN 所以取 [F] ≤ 45.1 kN

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偏心拉( 偏心拉(压)问题
当外力作用线与杆的轴线*行但不重合时, 当外力作用线与杆的轴线*行但不重合时,将 引起轴向拉伸(压缩)和*面弯曲两种基本变形。 引起轴向拉伸(压缩)和*面弯曲两种基本变形。

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正方形截面立柱的中间处开一个槽, 例8.6 正方形截面立柱的中间处开一个槽,使截面 面积为原来截面面积的一半。 面积为原来截面面积的一半。求开槽后立柱的的最大压 应力是原来不开槽的几倍。 应力是原来不开槽的几倍。 F F

a

a

a

a

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解: 未开槽前立柱为轴向压缩

FN F F F σ1 = = = 2 = A A (2a) 4a2
开槽后1-1是危险截面 开槽后 是危险截面 危险截面为偏心压缩 将力 F 向1-1形心简化 形心简化

F F
1

Fa/2 Fa/2
1

FN M F Fa / 2 2F σ2 = + = + = 2 A W 2a ? a 1 2a ? a2 a 6

a

a

2F / a2 8 = 2 = 未开槽前立柱的最大压应力 F / 4a

开槽后立柱的最大压应力

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§8-3 扭转与弯曲的组合变形
同时发生弯曲和扭转两种基本变形, 同时发生弯曲和扭转两种基本变形,称为弯扭组合变形。

D1
a
D2

l

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1. 内力分析 . 设一直径为 d 的等直圆杆 AB , B 端具有与 AB 成直角的刚臂。 成直角的刚臂。 研究AB杆的内力。 研究 杆的内力。 杆的内力 将力 F 向 AB 杆右端截面的 形心B简化 简化得 形心 简化得 引起*面弯曲) 横向力 F (引起*面弯曲) 引起扭转) 力偶矩 m = Fa (引起扭转) AB 杆为弯、扭组合变形 杆为弯、
D1 a
D2

l

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画出AB段的内力图, 画出 段的内力图,可见固定 段的内力图 截面为危险截面。 端A截面为危险截面。 截面为危险截面
D1 a
D2

l

T Fa M Fl

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2. 应力分析 .

A截面 截面

σ
危险截面上的最大弯曲 正应力σ 发生在C1 、C2 处 发生在C 最大扭转切应力 τ 发生在截面 周边上的各点处。 周边上的各点处。 危险截面上的危险点为C 危险截面上的危险点为C1 和 C2 点
C3

C1

C4

σ τ
C3

C2 C1

τ
T C4

τ

τ
C2

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第八章 A截面 截面

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对于许用拉、压应力相等 对于许用拉、 的塑性材料制成的杆, 的塑性材料制成的杆,这两点 的危险程度是相同的。 的危险程度是相同的。 可取任 意点C 来研究。 意点C1 来研究。 C1 点处于*面应力状态, 处于*面应力状态, 该点的单元体如图示 危险点的应力状态 (C1点)

σ
C3

C1

C4

σ τ
C3

C2 C1

τ
T C4

σ

τ

σ

M σ= W

σ

τ

σ

T τ= Wt

τ

τ
C2

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3. 强度分析 .

σ x ?σ y 2 σ1 σ x + σ y σ 2 ) + τ x = ± σ 2 + 4τ 2 = ± ( σ3 2 2 2

σ2 = 0
用第三或第四强度理论, 用第三或第四强度理论,其强度条件分别为

σ r3 = σ 1 ? σ 3 ≤ [σ ]
1 σ r4 = [(σ 1 ? σ 2 ) 2 + (σ 2 ? σ 3 ) 2 + (σ 3 ? σ 1 ) 2 ] ≤ [σ ] 2
将主应力代入上二式, 将主应力代入上二式,得到用第三或第四强度理论表达的 强度条件为

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第三强度理论

σ r3 = σ 2 + 4τ 2 ≤ [σ ]

第四强度理论

σ r 4 = σ 2 + 3τ 2 ≤ [σ ]

将σ 和τ 的表达式代入上式,并考虑到圆截面 t=2W,便得到 的表达式代入上式,并考虑到圆截面 圆截面W , 第三强度理论

M 2 +T 2 ≤ [σ ] W
M2 + 0.75T 2 ≤ [σ ] W

第四强度理论

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手摇绞车如图所示。 例 手摇绞车如图所示。轴的直径 d = 30mm ,其许 用应力 [σ ] = 80MPa ,试按第三强度理论确定绞车的最大 起吊重量F。 起吊重量 。
400 400

解:轴的受力如图所示, 轴的受力如图所示, 图中, M = FR 图中,
180 F F

F
Me Me

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M max

Fl F × 0.8 m = = = 0.2 F m 4 4

F
Me Me

T = F × R = F × (0.18 m)=0.18 F m
由第三强度理论得

σ r3 =

M2 +T2 ≤ [σ ] W

(0.2 F m)2 + (0.18F m)2 ≤ 80 × 106 Pa π × (0.03 m)3 32

解出

F ≤ 788 N

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示一钢制实心圆轴, 例 图 示一钢制实心圆轴,轴上的齿轮 C 上作用有铅垂切 向力 5 kN,径向力 1.82 kN;齿轮 D上作用有水*切向力 , ; 上作用有水*切向力 10 kN,径向力 3.64 kN 。齿轮 C 的节圆直径 d1 = 400 mm , , 齿轮 D 的节圆直径 d2 =200 mm。设许用应力 [σ]=100 MPa , 。 试按第四强度理论求轴的直径。 试按第四强度理论求轴的直径。 z
5kN A C 10kN B 3.64kN

D

x

y

1.82kN 300mm

300mm

100mm

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解:(1) 外力的简化
将每个齿轮上的外力 向该轴的截面形心简化 (2) 轴的变形分析
y

z
5kN A C 10kN B 3.64kN D x

5kN , 3.64kN 使轴在 xz 纵对称面内产生弯曲 1.82kN ,10kN 使轴在 xy 纵对称面内产生弯曲 1 kN·m 使轴产生扭转
y z A

1.82kN 300mm

300mm

100mm

5kN 1kN·m C

1kN.m B

3.64kN D x

1.82kN

10kN

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第八章 z A 1kN·m 5kN C

组合变形 3.64kN D x

(3) 绘制轴的内力图

MyC = 0.57kN ? m MyB = 0.36kN ? m y MzC = 0.227kN ? m

1kN.m B

MzB = 1kN ? m
T = 1kN·m 圆杆发生的是斜弯曲与扭转的 组合变形

1.82kN C

10kN

0.57
1

T图 B

C My图 图 0.227 C Mz图 图 10.36

B

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第八章 0.57kN·m

组合变形

(4) 危险截面上的内力计算

MyC = 0.57kN ? m MzC = 0.227kN ? m MyB = 0.36kN ? m MzB = 1kN ? m
B、C 截面的总弯矩为

B C My图 0.227 C Mz图 C B 0.36kN·m 1

MB = M + M = 1.063kN ? m
2 yB 2 zB 2 2 MC = MyC + MzC = 0.36kN ? m

TB = TC = 1kN ? m
B 截面是危险截面
T图 图

1kN·m

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(5) 由强度条件求轴的直径

σ

M + 0.75T 1372 = = ≤ [σ ] r4 W W
2 B 2 B

W=

πd
32

3

轴需要的直径为

32×1372 d≥ .9 m 6 = 51 m π ×100×10
3

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P280-286: 8.3 8.16






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