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金版教程2017高考数学文二轮复*讲义:第三编 考前冲刺攻略 第三步 应试技能专训 一客观题专练

发布时间:

第三步

应试技能专训

一、客观题专练

(一) 一、选择题

1.设 U=R,集合 A=?????x∈R???xx- -12

>0???,B={x∈R|0<x<2},则
??

(?UA)∩B=( )

A.(1,2]

B.1,2)

C.(1,2)

D.1,2]

答案 B

解析 依题意得 ?UA= {x|1≤x≤2}, (? UA)∩B= {x|1≤x<2}=

1,2),选 B.

2.设 z=1+i(i 是虚数单位),则2z- z =( )

A.i

B.2-i

C.1-i

D.0

答案 D

解析 因为2z- z =1+2 i-1+i=?1+2?1i?-?1-i? i?-1+i=1-i-1+i

=0,故选 D.

3.2016·沈阳监测]下列函数中,在其定义域内是增函数而且又

是奇函数的是( )

A.y=2x

B.y=2|x|

C.y=2x-2-x

D.y=2x+2-x

答案 C

解析 A 虽为增函数却是非奇非偶函数,B、D 是偶函数,对于

选项 C,由奇偶函数的定义可知是奇函数,由复合函数单调性可知在

其定义域内是增函数(或 y′=2xln 2+2-xln 2>0),故选 C.

4.已知数列{an}是公差为 3 的等差数列,且 a1,a2,a5 成等比数

列,则 a10 等于( ) A.14

53 B. 2

57 C. 2

D.32

答案 C

解析 由题意可得 a22=a1·a5,即(a1+3)2=a1(a1+4×3),解之得

a1=32,故 a10=23+(10-1)×3=527,故选 C.

??x+y-1≤0, 5.已知变量 x,y 满足约束条件?3x-y+1≥0,
??x-y-1≤0,

则 z=2x+y

的最大值为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

答案 B

解析 画出可行域得知,当直线 y=z-2x 过点(1,0)时,z 取得最

大值 2.

6. 已知函数 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的解析式可能是( )

A.f(x)=e1-x2 B.f(x)=ex2-1 C.f(x)=ex2-1 D.f(x)=ln (x2-1) 答案 A 解析 A 中,令 f(x)=eu,u=1-x2,易知当 x<0 时,u 为增函数,

当 x>0 时,u 为减函数,所以当 x<0 时,f(x)为增函数,当 x>0 时,f(x) 为减函数,故 A 可能是;B、C 中同理可知,当 x<0 时,f(x)为减函 数,当 x>0 时,f(x)为增函数,故 B、C 不是;D 中,当 x=0 时,无 意义,故 D 不是,选 A.
7.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示,则该函数的解 析式可能是( )
A.f(x)=34sin???23x+π6??? B.f(x)=54sin???45x+15??? C.f(x)=54sin???56x+π6??? D.f(x)=45sin???32x-15??? 答案 B 解析 由图可以判断|A|<1,T>2π,则|ω|<1,f(0)>0,f(π)>0,f(2π)<0, 只有选项 B 满足上述条件. 8.已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为 0 时, 输入的 x 值为( )

A.-2

B.-2 或-1

C.1 或-3

D.-2 或13

答案 D

解析 当 x≤0 时,由 y=???12???x-4=0 得 x=-2;

当 x>0 时,由 y=log3x+1=0 得 x=13.

第三编/第三步 应试技能专训金版教程|大二轮·文数

9. 高为 4 的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体,它的直

观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示,则该几何体的体积是原

直三棱柱的体积的( )

3 A.4

1 B.4

1 C.2

3 D.8

答案 C

解析 由侧视图、俯视图知该几何体是高为 2、底面积为12×2×(2

+4)=6 的四棱锥,其体积为 4.易知直三棱柱的体积为 8,则该几何

体的体积是原直三棱柱的体积的84=21,故选 C. 10.2016·贵阳监测]已知双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)与函数 y= x

的图象交于点 P,若函数 y= x的图象在点 P 处的切线过双曲线左焦

点 F(-2,0),则双曲线的离心率是( )

5+1 A. 2

B. 2

3+1

3

C. 2

D.2

答案 B

解析

设 P(x0,

x0),因为函数 y=

x的导数为

y′=2 1

,所以 x

切线的斜率为 2

1x0.又切线过双曲线的左焦点

F(-2,0),所以2

1= x0

x0+x02,解得 x0=2,所以 P(2, 2).因为点 P 在双曲线上,所以a42-

b22=1 ①.又 c2=22=a2+b2 ②,联立①②解得 a= 2或 a=2 2

(舍),所以

e=ac=

2= 2

2,故选 B.

11.2016·山西四校联考]在正三棱锥 S-ABC 中,M 是 SC 的中

点,且 AM⊥SB,底面边长 AB=2 2,则正三棱锥 S-ABC 的外接球

的表面积为( )

A.6π

B.12π

C.32π

D.36π

答案 B

解析 如图,取 CB 的中点 N,连接 MN,AN,则 MN∥SB.由于

AM⊥SB,所以 AM⊥MN.由正三棱锥的性质易知 SB⊥AC,结合 AM

⊥SB 知 SB⊥*面 SAC,所以 SB⊥SA,SB⊥SC.又正三棱锥的三个侧

面是全等的三角形,所以 SA⊥SC,所以正三棱锥 S-ABC 为正方体

的一个角,所以正三棱锥 S-ABC 的外接球即为正方体的外接球.由

AB=2 2,得 SA=SB=SC=2,所以正方体的体对角线为 2 3,所以

所求外接球的半径 R= 3,其表面积为 4πR2=12π,故选 B.

12.2016·商丘二模]设函数 f(x)的导函数为 f′(x),对任意 x∈R

都有 f(x)>f′(x)成立,则( )

A.3f(ln 2)<2f(ln 3)

B.3f(ln 2)=2f(ln 3)

C.3f(ln 2)>2f(ln 3)

D.3f(ln 2)与 2f(ln 3)的大小不确定

答案 C

解析

构造新函数

g(x)



f?x? ex

















g′(x)



f′?xe?-x f?x?,因为对任意 x∈R,都有 f(x)>f′(x),所以 g′(x)<0,即

g(x)在实数域上单调递减,所以 g(ln

2)>g(ln

3),即f?elnln

2? f?ln 2 > eln

33?,解

得 3f(ln 2)>2f(ln 3),故本题正确答案为 C.

二、填空题

13.若向量 a,b 满足:|a|=1,|b|=2,(a-b)⊥a,则 a,b 的夹

角是________.

答案

π 3

解析 依题意得(a-b)·a=0,即 a2-a·b=0,1-2cos〈a,b〉=0,

cos〈a,b〉=12;又〈a,b〉∈0,π],因此〈a,b〉=π3,即向量 a,

b 的夹角为π3. 14.若不等式 x2+y2≤2 所表示的*面区域为 M,不等式组

???xx- +yy≥ ≥00,, ??y≥2x-6

表示的*面区域为 N,现随机向区域 N 内抛一粒豆子,

则豆子落在区域 M 内的概率为________.

答案

π 24

解析 作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示,*面区域

N 的面积为12×3×(6+2)=12,区域 M 在区域 N 内的面积为14π( 2)2

π =π2,故所求概率 P=122=2π4.

15.在锐角△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,

bcosC+ccosB= 3R(R 为△ABC 外接圆半径)且 a=2,b+c=4,则△ ABC 的面积为________.

答案 3 解析 因为 bcosC+ccosB= 3R, 得 2sinBcosC+2sinCcosB= 3,

sin(B+C)=

23,即

sinA=

3 2.

由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA, 即 4=b2+c2-bc,∴4=(b+c)2-3bc,

∵b+c=4,∴bc=4,∴S△ABC=12bcsinA= 3.

16.存在实数 φ,使得圆面 x2+y2≤4 恰好覆盖函数 y=sin???πkx+φ??? 图象的最高或最低点共三个,则正数 k 的取值范围是________.

答案

? ? ?

23,

?
3?
?

解析 当函数 y=sin???πkx+φ???的图象取到最高或最低点时,πkx+φ

=π2+nπ(n∈Z)?x=2k+kn-πkφ(n∈Z),由圆面 x2+y2≤4 覆盖最高或

最低点,可知-

3≤x≤

3,再令-

3≤2k+kn-πkφ≤

- 3,得 k

3+

φπ-21≤n≤ k3+φπ-12,分析题意可知存在实数 φ,使得不等式-k 3+

φπ-21≤n≤ k3+φπ-12的整数解有且只有 3 个,

∴2≤ k3+φπ-12-???-k 3+φπ-12???<4? 23<k≤ 3,即实数 k 的取值

范围是??
?

23,

?
3?.
?

(二)

一、选择题

1.在复*面内,复数1-2 i+2i2 对应的点位于(

)

A.第一象限 C.第三象限

B.第二象限 D.第四象限

答案 B

解析 1-2 i+2i2=-1+i,故选 B.

2.已知集合 A={x|-2≤x≤3},B={x|x2+2x-8>0},则 A∪B

=( ) A.(-∞,-4)∪-2,+∞) B.(2,3] C.(-∞,3]∪(4,+∞) D.-2,2) 答案 A 解析 因为 B={x|x>2 或 x<-4},所以 A∪B={x|x<-4 或 x≥-
2},故选 A. 3.设 x,y∈R,则“x≥1 且 y≥1”是“x2+y2≥2”的( ) A.既不充分又不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.充分不必要条件 答案 D 解析 当 x≥1,y≥1 时,x2≥1,y2≥1,所以 x2+y2≥2;而当 x
=-2,y=-4 时,x2+y2≥2 仍成立,所以“x≥1 且 y≥1”是“x2 +y2≥2”的充分不必要条件,故选 D.
4.据我国西部各省(区,市)2013 年人均地区生产总值(单位:千 元)绘制的频率分布直方图如图所示,则人均地区生产总值在区间 28,38)上的频率是( )

A.0.3

B.0.4

C.0.5

D.0.7

答案 A

解析 依题意,由题图可估计人均地区生产总值在区间 28,38)

上的频率是 1-(0.08+0.06)×5=0.3,选 A.

5. 如图,在三棱锥 P-ABC 中,不能证明 AP⊥BC 的条件是( )

A.AP⊥PB,AP⊥PC B.AP⊥PB,BC⊥PB C.*面 BPC⊥*面 APC,BC⊥PC D.AP⊥*面 PBC 答案 B 解析 A 中,因为 AP⊥PB,AP⊥PC,PB∩PC=P,所以 AP⊥ *面 PBC,又 BC?*面 PBC,所以 AP⊥BC,故 A 正确;C 中,因 为*面 BPC⊥*面 APC,BC⊥PC,所以 BC⊥*面 APC,AP?*面 APC,所以 AP⊥BC,故 C 正确;D 中,由 A 知 D 正确;B 中条件不 能判断出 AP⊥BC,故选 B. 6.执行如下程序框图,则输出结果为( )

A.2

B.3

C.4

D.5

答案 C

解析 依次执行框图中的语句:n=1,S=0,T=20;T=10,S

=1,n=2;T=5,S=3,n=3;T=52,S=6,n=4,跳出循环,输

出的 n=4,故选 C.

7.已知 α∈???π4,π2???,tan???2α+π4???=17,那么 sin2α+cos2α 的值为

()

A.-15

7 B.5

C.-57

3 D.4

答案 A

解析 由 tan???2α+π4???=71,知t1a-n2tαan+2α1=17,

∴tan2α=-43.∵2α∈???π2,π???,∴sin2α=35,cos2α=-54.

∴sin2α+cos2α=-15,故选 A.

8.甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同,俯视图不同,如

图所示,记甲的体积为 V 甲,乙的体积为 V 乙,则( )

A.V 甲<V 乙 C.V 甲>V 乙

B.V 甲=V 乙 D.V 甲、V 乙大小不能确定

答案 C 解析 由三视图知,甲几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,

乙几何体是在甲几何体的基础上去掉一个角,即去掉一个三个面是直

角三角形的三棱锥后得到的一个三棱锥,所以 V 甲>V 乙,故选 C. 9.2016·江西南昌调研]设两条直线的方程分别为 x+y+a=0,x

+y+b=0,已知 a,b 是方程 x2+x+c=0 的两个实根,且 0≤c≤18, 则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )

A. 22,21

B.

2,

2 2

C. 2,12

D. 42,14

答案 A

解析 因为 a,b 是方程 x2+x+c=0 的两个实根,所以 ab=c,

a+b=-1.又直线 x+y+a=0,x+y+b=0 的距离 d=|a-2b|,所以

d2=???|a-2b|???2=?a+b?22-4ab=?-1?22-4c=12-2c,因为 0≤c≤18,所

以12-2×18≤12-2c≤21-2×0,得14≤12-2c≤12,所以21≤d≤ 22,故选

A. 10.2016·郑州质检]已知函数 f(x)=x+4x,g(x)=2x+a,若?x1

∈???12,1???,?x2∈2,3],使得 f(x1)≥g(x2),则实数 a 的取值范围是(

)

A.a≤1

B.a≥1

C.a≤2

D.a≥2

答案 A

解析 由题意知 f(x)min???x∈???21,1??????≥g(x)min(x∈2,3]),因为 f(x)min =5,g(x)min=4+a,所以 5≥4+a,即 a≤1,故选 A.

11.已知椭圆ax22+by22=1(a>b>0)的左焦点 F(-c,0)关于直线 bx+ cy=0 的对称点 P 在椭圆上,则椭圆的离心率是( )

2 A. 4

3 B. 4

3 C. 3

2 D. 2

答案 D

解析 设焦点 F(-c,0)关于直线 bx+cy=0 的对称点为 P(m,n),

?m+n c·???-bc???=-1,

??b·m-2 c+c·n2=0,

所以??m+n c=bc, ?bm-bc+nc=0,

所以 m=bb22c+-cc23=?a2-a22 c2?c=(1-2e2)c, n=c2bb2++bc2c2=2ab2c2=2be2. 因为点 P(m,n)在椭圆上,所以?1-2ae2 2?2c2+4bb22e4=1,即(1-

2e2)2e2+4e4=1,即 4e6+e2-1=0,将各选项代入知 e= 22符合,故

选 D.

12.2016·武昌调研]已知函数 f(x)=sinx-xcosx.现有下列结论:

①?x∈0,π],f(x)≥0;

②若 0<x1<x2<π,则xx21<ssiinnxx21;

③若 a<sixnx<b,对?x∈???0,π2???恒成立,则 a 的最大值为π2,b 的

最小值为 1.

其中正确结论的个数为( )

A.0

B.1

C.2

D.3

答案 D 解析 因为 f′(x)=cosx-cosx+xsinx=xsinx,当 x∈0,π]时, f′(x)≥0,故 f(x)在 0,π]上是增函数,所以 f(x)≥f(0)=0,所以①正 确;令 g(x)=sixnx,则 g′(x)=xcosxx-2 sinx,由①知,当 x∈(0,π)时, g′(x)≤0,所以 g(x)在 0,π]上是减函数,所以sixn1x1>sixn2x2,即xx21<ssiinnxx21, 所以②正确; 当 x>0 时,“sixnx>a”等价于“sinx-ax>0”, 令 g(x)=sinx-cx,则 g′(x)=cosx-c, 当 c≤0 时,g(x)>0 对 x∈???0,π2???恒成立; 当 c≥1 时,因为对?x∈???0,π2???. g′(x)=cosx-c<0, 所以 g(x)在区间???0,π2???上单调递减, 从而,g(x)<g(0)=0 对?x∈???0,π2???恒成立; 当 0<c<1 时,存在唯一的 x0∈???0,π2???使得 g′(x0)=cosx0-c=0 成立, 若 x∈(0,x0)时,g(x0)>0,g(x)在(0,x0)上单调递增,且 g(x)>g(0) =0; 若 x∈???x0,π2???时,g′(x0)<0,g(x)在???x0,π2???上单调递减, 要使 g(x)=sinx-cx>0 在???0,π2???上恒成立, 必须使 g???π2???=sinπ2-π2c=1-π2c≥0 恒成立,即 0<c≤2π. 综上所述,当 c≤2π时,g(x)>0 对?x∈???0,π2???恒成立;

当 c≥1 时,g(x)<0,对?x∈???0,π2???恒成立,

所以若

sinx a< x <b

对?x∈???0,π2???上恒成立,

则 a 的最大值为2π,b 的最小值为 1,所以③正确,故选 D.

二、填空题

13.从编号为 001,002,…,500 的 500 个产品中用系统抽样的

方法抽取一个样本,已知样本编号从小到大依次为 007,032,…,则

样本中最大的编号应该为________.

答案 482

解析 由题意可知,系统抽样的每组元素个数为 32-7=25 个,

共 20 个组,故样本中最大的编号应该为 500-25+7=482.

14.2016·辽宁五校联考]抛物线 x2=12y 在第一象限内图象上一点

(ai,2ai2)处的切线与 x 轴交点的横坐标记为 ai+1,其中 i∈N*,若 a2=32, 则 a2+a4+a6 等于________.
答案 42

解析 令 y=f(x)=2x2,则切线斜率 k=f′(ai)=4ai,切线方程为 y-2ai2=4ai(x-ai),令 y=0 得 x=ai+1=12ai,由 a2=32 得 a4=8,a6

=2,所以 a2+a4+a6=42. 15.已知 a,b 是正数,且满足 2<a+2b<4,那么 a2+b2 的取值

范围是________.

答案 ???54,16??? 解析 作出不等式表示的*面区域,如图阴影部分所示(不包括 边界),O 到直线 a+2b=2 的距离 d= 25,|OB|=4,显然 d2<a2+ b2<|OB|2,即45<a2+b2<16. 16.2016·湖南长郡模拟] 如图,在△ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a2=b2+c2+bc,a= 3,S 为△ABC 的面 积,圆 O 是△ABC 的外接圆,P 是圆 O 上一动点,当 S+ 3cosBcosC
→→ 取得最大值时,PA·PB的最大值为________.
答案 3+32 解析 本题考查余弦定理、正弦定理、*面向量的运算.在△ABC

中,由 a2=b2+c2+bc 得 b2+c2-a2=-bc,则 cosA=b2+2cb2c-a2=-

12,所以 sinA= 23,则由正弦定理得△ABC 的外接圆的半径为 r=12

×sianA=12× 33=1,则 b=2rsinB=2sinB,c=2rsinC=2sinC,所以 S 2



3

cosBcosC



1 2

bcsinA



3 cosBcosC =

3 4

×2sinB×2sinC



3

cosBcosC= 3cos(B-C),则当 B=C=π6时,S+ 3cosBcosC 取得最 大值.以 O 为原点,OA 所在的直线为 y 轴,过 O 点垂直于 OA 的直

线为

x

轴建立*面直角坐标系,则

A(0,1),B??-
?

23,12???,设

P(cosθ,

sinθ),

则P→A·P→B=(-cosθ,1-sinθ)·??-
?

23-cosθ,21-sinθ???=

23cosθ+

cos2θ+12-32sinθ+sin2θ= 3sin???π6-θ???+23,所以当 sin???π6-θ???=1 时,

→→ PA·PB取得最大值

3+32.

(三)

一、选择题

1.设全集 U=R,A={x|x(x-2)<0},B={x|1-x>0},则 A∩(?UB)

等于( )

A.{x|x≥1}

B.{x|1≤x<2}

C.{x|0<x≤1}

D.{x|x≤1}

答案 B

解析 由题意可得 A=(0,2),B=(-∞,1),则 A∩(?UB)=1,2).

2.已知实数 a,b 满足(a+i)(1-i)=3+bi,则复数 a+bi 的模为

() A. 2

B.2

C. 5

D.5

答案 C

解析 依题意,(a+i)-(a+i)i=3+bi,因此?????a1+ -1a= =3b, , 解得 a

=2,b=-1,所以 a+bi=2-i,|a+bi|=|2-i|= 22+?-1?2= 5,

选 C.

3.下列函数为奇函数的是( A.y=x3+3x2

) B.y=ex+2 e-x

C.y=xsinx

D.y=log233- +xx

答案 D

解析 依题意,对于选项 A,注意到当 x=-1 时,y=2;当 x =1 时,y=4,因此函数 y=x3+3x2 不是奇函数.对于选项 B,注意 到当 x=0 时,y=1≠0,因此函数 y=ex+2e-x不是奇函数.对于选项

C,注意到当 x=-π2时,y=π2;当 x=π2时,y=π2,因此函数 y=xsinx

不是奇函数.对于选项 D,由33- +xx>0 得-3<x<3,即函数 y=log233- +xx

的定义域是(-3,3),该数集是关于原点对称的集合,且 log233- +??- -xx??+

log233-+xx=log21=0,即有 log233- +??- -xx??=-log233- +xx,因此函数 y=

log233-+xx是奇函数.综上所述,选 D.

4.设 M 为*行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为*行四边形

→→→ → ABCD 所在*面内的任意一点,则OA+OB+OC+OD等于( )

→ A.OM

→ B.2OM

→ C.3OM

→ D.4OM

答案 D

解析 因为 M 是*行四边形 ABCD 对角线 AC、BD 的交点,所

→→ →→→ →

→→→→

以 OA + OC = 2 OM , OB + OD = 2 OM , 所 以 OA + OB + OC + OD =

→ 4OM,故选 D.
5.若双曲线 C1:x22-y82=1 与 C2:ax22-by22=1(a>0,b>0)的渐*

线相同,且双曲线 C2 的焦距为 4 5,则 b=( )

A.2

B.4

C.6

D.8

答案 B

解析 由题意得,ba=2?b=2a,C2 的焦距 2c=4 5?c= a2+b2

=2 5?b=4,故选 B.

6.运行下面的程序,如果输出的 S=22001154,那么判断框内是( )

A.k≤2013?

B.k≤2014?

C.k≥2013?

D.k≥2014?

答案 B

解析 当判断框内是 k≤n?时,S=1×1 2+2×1 3+…+n×?1n+1?

=1-n+1 1,若 S=22001145,则 n=2014.

7.2016·郑州质检]将函数 f(x)=sin???2x-2π???的图象向右*移π4个单

位后得到函数 g(x)的图象,则 g(x)具有性质( )

A.最大值为 1,图象关于直线 x=π2对称

B.在???0,π4???上单调递减,为奇函数

C.在???-38π,π8???上单调递增,为偶函数

D.周期为 π,图象关于点???38π,0???对称 答案 B

解析 由题意得,g(x)=sin???2???x-π4???-π2???=sin(2x-π)=-sin2x,

对于 A,最大值为 1 正确,而 g???π2???=0,图象不关于直线 x=π2对称,

故 A 错误;对于 B,当 x∈???0,π4???时,2x∈???0,π2???,满足单调递减,显 然 g(x)也是奇函数,故 B 正确;C 显然错误;对于 D,周期 T=22π=

π,g???38π???=- 22,故图象不关于点???38π,0???对称,故选 B. 8.2016·重庆测试]某几何体的三视图如图所示,则该几何体的

体积为( )

33 A. 2

B.2 3

53 C. 2

D.3 3

答案 C

解析 依题意,如图所示,题中的几何体是从正三棱柱 ABC-

A1B1C1 中截去一个三棱锥 B-A1B1E(其中点 E 是 B1C1 的中点)后剩余

的部分,其中正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是一个边长为 2 的正三角

形、高为

3,因此该几何体的体积为??
?

43×22???×3-31×???21×

43×22???×3

=523,选 C.

9.2016·福建质检]若椭圆上存在三点,使得这三点与椭圆中心

恰好是一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为( )

5-1 A. 2

3 B. 3

2 C. 2

6 D. 3

答案 D

解析 设椭圆的方程为ax22+by22=1(a>b>0),根据椭圆与正方形的

对称性,可画出满足题意的图象,如图所示,因为|OB|=a,所以|OA|

= 22a,所以点 A 的坐标为???a2,a2???,又点 A 在椭圆上,所以4aa22+4ab22=

1,所以 a2=3b2,所以 a2=3(a2-c2),所以 3c2=2a2,所以椭圆的离

心率 e=ac= 36,故选 D.

10 . 2016·河 南 八 市 质 检 ] 已 知 a>0 , x , y 满 足 约 束 条 件

???xx≥+1y≤,3,

若 z=3x+2y 的最小值为 1,则 a=( )

??y≥a?x-3?,

1

1

A.4

B.2

3 C.4

D.1

答案 B

解析 根据约束条件画出可行域,将 z=3x+2y 的最小值转化为

在 y 轴上的截距,当直线 z=3x+2y 经过点 B 时,z 最小,又 B 点坐

标为(1,-2a),代入 3x+2y=1,得 3-4a=1,得 a=12,故选 B.

11.已知在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,

若 b= 3a,C=π6,S△ABC= 3sin2A,则 S△ABC=(

)

3 A. 4

3 B. 2

C. 3 答案 A

D.2

解析

解法一:由 b=

3a,C=π6,得

S△ABC=12absinC=21a·

1 3a·2

= 43a2,又 S△ABC= 3sin2A,则a42=sin2A,故a2=sinA,即sianA=2,

由sianA=sincC,得sincC=2,所以 c=2sinC=1,由余弦定理 a2+b2-

c2=2abcosC,得 a2+3a2-1=2·a· 3a·23,整理得 4a2-1=3a2,a2

=1,所以

a=1,故

S△ABC=

3 4.

解法二:由余弦定理 a2+b2-c2=2abcosC,得 a2+( 3a)2-c2=

2a· 3a·cosπ6,即 a2=c2,故 a=c,从而有 A=C=π6,所以 S△ABC= 3

sin2A= 3×sin2π6= 43,故选 A.

12.若 P 为曲线 y=ln x 上一动点,Q 为直线 y=x+1 上一动点, 则|PQ|min 等于( )

A.0

2 B. 2

C. 2

D.2

答案 C

解析 如图所示,直线 l 与 y=ln x 相切且与 y=x+1 *行时,切

点 P 到直线 y=x+1 的距离|PQ|即为所求最小值.(ln x)′=1x,令1x=

1,得 x=1.



P(1,0).故|PQ|min=

2= 2

2.

二、填空题

13.2015·广东高考]已知样本数据 x1,x2,…,xn 的均值 x =5,
则样本数据 2x1+1,2x2+1,…,2xn+1 的均值为________. 答案 11 解析 由条件知 x =x1+x2+n …+xn=5, 则所求均值 x 0=2x1+1+2x2+n1+…+2xn+1 =2?x1+x2+n…+xn?+n=2 x +1=2×5+1=11. 14.已知{an}为等差数列,公差为 1,且 a5 是 a3 与 a11 的等比中
项,Sn 是{an}的前 n 项和,则 S12 的值为________. 答案 54 解析 由题意得,a52=a3a11,即(a1+4)2=(a1+2)(a1+10),a1=
-1,∴S12=12×(-1)+12×2 11×1=54. 15.设函数 f(x)在 1,+∞)上为增函数,f(3)=0,且 g(x)=f(x+
1)为偶函数,则不等式 g(2-2x)<0 的解集为________. 答案 (0,2) 解析 依题意得 f(-x+1)=f(x+1),因此 f(x)的图象关于直线 x
=1 对称.又 f(x)在 1,+∞)上为增函数,因此 f(x)在(-∞,1]上为

减函数.又 g(x)=f(x+1)为偶函数,因此 g(x)在 0,+∞)上为增函数, 在(-∞,0]上为减函数,且 g(2)=f(2+1)=f(3)=0,g(-2)=0,不等 式 g(2-2x)<0,即 g(|2-2x|)<g(2),所以|2-2x|<2,-2<2-2x<2, 0<x<2,所以不等式 g(2-2x)<0 的解集是(0,2).
16.2016·陕西质检]已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线为 l, 若 l 与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a=________.
答案 8 解析 本题考查导数的几何意义、数形结合思想的应用.函数 f(x) =x+ln x 的导函数为 f′(x)=1+1x,则 f′(1)=1+11=2,所以切线 l 的方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1,因为直线 l 与曲线 y=ax2+(a +2)x+1 相切,所以方程 ax2+(a+2)x+1=2x-1,即 ax2+ax+2=0 有两个相等的实数根,显然 a≠0,则 Δ=a2-4×2a=0,解得 a=8.
(四) 一、选择题

1.已知( z -1+3i)(2-i)=4+3i(其中 i 是虚数单位,z 是 z 的共

轭复数),则 z 的虚部为( )

A.1

B.-1

C.i

D.-i

答案 A

解析 因为 z =42+-3ii+1-3i=??42+-3ii????22++ii??+1-3i=1+2i+1

-3i=2-i,所以 z=2+i,z 的虚部为 1,故选 A.

2.若集合 A={x|(x+1)(3-x)>0},集合 B={x|1-x>0},则 A∩B

等于( )

A.(1,3)

B.(-∞,-1)

C.(-1,3)

D.(-1,1)

答案 D

解析 ∵A=(-1,3),B=(-∞,1),∴A∩B=(-1,1).

3. 一次数学考试后,某老师从自己所带的两个班级中各抽取 5

人,记录他们的考试成绩,得到如图所示的茎叶图.已知甲班 5 名同 学成绩的*均数为 81,乙班 5 名同学成绩的中位数为 73,则 x-y 的 值为( )

A.2

B.-2

C.3

D.-3

答案 D

解析 由题意得,72+77+805+x+86+90=81?x=0,易知 y

=3,∴x-y=-3,故选 D.

4.已知 l,m,n 为不同的直线,α,β,γ 为不同的*面,则下

列判断正确的是( )

A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n

B.若 m⊥α,n∥β,α⊥β,则 m⊥n

C.若 α∩β=l,m∥α,m∥β,则 m∥l

D.若 α∩β=m,α∩γ=n,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α

答案 C

解析 A 项,m,n 可能的位置关系为*行,相交,异面,故 A

错误;B 项,根据面面垂直与线面*行的性质可知 B 错误;C 项,根

据线面*行的性质可知 C 正确;D 项,若 m∥n,根据线面垂直的判

定可知 D 错误,故选 C.

5.△ABC 的角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 cosA=87,

c-a=2,b=3,,则 a=( )

A.2

5 B.2

C.3

7 D.2

答案 A

解析 由余弦定理可知,a2=b2+c2-2bccosA?a2=9+(a+2)2

-2×3×(a+2)×87?a=2,故选 A.

6.2016·东北三省联考]如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是线段 CD 的中点,则三棱锥 P-A1B1A 的侧视图为( )

答案 D 解析 如图,画出原正方体的侧视图,显然对于三棱锥 P- A1B1A,B(C)点均消失了,其余各点均在,从而其侧视图为 D.

7.2016·合肥质检]执行下面的程序框图,则输出的 n 的值为( )

A.10

B.11

C.1024

D.2048

答案 C

解析 该程序框图共运行 10 次,S=1+2+22+…+210=2047, 输出的 n=210=1024,选项 C 正确.

8.2016·河南六市一联]实数 x,y 满足?????x|xy+≥y0|≤,1, 使 z=ax+y

取得最大值的最优解有 2 个,则 z1=ax+y+1 的最小值为( )

A.0

B.-2

C.1

D.-1

答案 A

解析 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,∵z

=ax+y 取得最大值的最优解有 2 个,∴-a=1,a=-1,∴当 x=1,

y=0 或 x=0,y=-1 时,z=ax+y=-x+y 有最小值-1,∴ax+y

+1 的最小值是 0,故选 A.

9.已知 a,b 都是实数,命题 p:a+b=2;命题 q:直线 x+y

=0 与圆(x-a)2+(y-b)2=2 相切,则 p 是 q 的( )

A.充分但不必要条件

B.必要但不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案 A

解析 由直线 x+y=0 与圆(x-a)2+(y-b)2=2 相切,得|a+b|= 2

2,即 a+b=±2,∴p 是 q 的充分但不必要条件.

10.2016·山西质检]若函数 f(x)=sin(2x+φ)???|φ|<π2???的图象关于直

线 x=1π2对称,且当 x1,x2∈???-π6,π3???,x1≠x2 时,f(x1)=f(x2),则 f(x1

+x2)=( )

1

2

A.2

B. 2

3 C. 2

D.1

答案 C

解析 由题意得,2×1π2+φ=π2+kπ,k∈Z,

∴φ=π3+kπ,k∈Z,∵|φ|<π2,∴k=0,φ=π3,

又 x1,x2∈???-π6,π3???,∴2x1+π3,2x2+π3∈(0,π), ∴2x1+π3+2 2x2+π3=π2,解得 x1+x2=π6,

∴f(x1+x2)=sin???2×π6+π3???= 23,故选 C. 11.2016·云南统检]已知双曲线 M 的焦点 F1、F2 在 x 轴上,直 线 7x+3y=0 是双曲线 M 的一条渐*线,点 P 在双曲线 M 上,且

→→ PF1·PF2=0,如果抛物线 y2=16x 的准线经过双曲线 M 的一个焦点,

→→ 那么|PF1|·|PF2|=( )

A.21

B.14

C.7

D.0

答案 解析

B 设双曲线方程为ax22+by22=1(a>0,b>0),

∵直线 7x+3y=0 是双曲线 M 的一条渐*线,

∴ba= 37①,又抛物线的准线为 x=-4,∴c=4②, 又 a2+b2=c2③,

∴由①②③得 a=3. 设点 P 为双曲线右支上一点,

→→ ∴由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=6④,

→→

→→

→→

又PF1·PF2=0,∴PF1⊥PF2,∴在 Rt△PF1F2 中|PF1|2+|PF2|2=

→→ 82⑤,联立④⑤,解得|PF1|·|PF2|=14.
12.已知函数 f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=log2x-2 的零
点依次为 a,b,c,则( )

A.a<b<c

B.c<b<a

C.c<a<b

D.b<a<c

答案 A

解析 在同一*面直角坐标系中分别画出函数 y=2x,y=-x,y

=log2x 的图象,结合函数 y=2x 与 y=-x 的图象可知其交点横坐标

小于 0,即 a<0;结合函数 y=log2x 与 y=-x 的图象可知其交点横坐

标大于 0 且小于 1,即 0<b<1;令 log2x-2=0,得 x=4,即 c=4.因

此有 a<b<c,选 A.

二、填空题

13.已知向量 a,b 的夹角为34π,|a|= 2,|b|=2,则 a·(a-2b)

=________.

答案 6

解析

a·(a-2b)=a2-2a·b=2-2×

2×2×??-
?

22???=6.

14.2016·山西四校二联]抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F,其准

线与双曲线 x2-y2=1 相交于 A,B 两点,若△ABF 为等边三角形,

则 p=________.

答案 2 3

解析 由题意可知,抛物线的焦点为 F???0,2p???,准线方程为 y=

-p2,联立???yx=2--y2p2=,1, 解得 x=±

1+p42.

∵△ABF 为等边三角形,∴ p2+x2=2|x|,即 p2+???1+p42???= 4???1+p42???,解得 p=2 3或-2 3(舍去).

15.2016·海口调研]半径为 2 的球 O 中有一内接正四棱柱(底面 是正方形,侧棱垂直底面).当该正四棱柱的侧面积最大时,球的表 面积与该正四棱柱的侧面积之差是________.

答案 16(π- 2) 解析 依题意,设球的内接正四棱柱的底面边长为 a、高为 h, 则有 16=2a2+h2≥2 2ah,即 4ah≤16 2,该正四棱柱的侧面积 S=

4ah≤16 2,当且仅当 h= 2a=2 2时取等号.因此,当该正四棱柱 的侧面积最大时,球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是 4π×22

-16 2=16(π- 2).

16.已知数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,且 Sn=2Sn-1+ 1(n≥2,且 n∈N*),数列{bn}是等差数列,且 b1=a1,b4=a1+a2+a3.

设 cn=bnb1n+1,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,则 T10=________.

答案

10 21

解析 解法一:数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,且 Sn= 2Sn-1+1(n≥2,且 n∈N*),∴当 n=2 时,a1+a2=2a1+1,∴a2=2, 当 n≥3 时,an=Sn-Sn-1=2Sn-1-2Sn-2=2an-1,又 a2=2a1,∴an= 2an-1(n≥2,且 n∈N*),数列{an}为首项为 1,公比为 2 的等比数列, ∴an=2n-1,a3=22=4.设数列{bn}的公差为 d,又 b1=a1=1,b4=1



3d



7





d



2



bn



1



(n



1)×2



2n



1



cn



1 bnbn+1



?2n-1?1?2n+1?=21???2n1-1-2n1+1???,

∴T10=12???1-13 +13-15+…+2×110-1- 2×110+1???=21???1-211???

=1201. 解法二:∵数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,且 Sn=2Sn-1
+1(n≥2,且 n∈N*),∴当 n=2 时,a1+a2=2a1+1,∴a2=2,当 n =3 时,a1+a2+a3=2a1+2a2+1,

∴a3=4.设数列{bn}的公差为 d,又 b1=a1=1,b4=1+3d=7,

∴d=2,bn=1+(n-1)×2=2n-1,cn=bnb1n+1=?2n-1?1?2n+1?=12

???2n1-1-2n1+1???,



T10



1 2

???1-13+13-15+…+2×110-1-2×110+1???



1 2

???1-211???



10 21.




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